| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pinkrose (Armor) 날 짜 (Date): 1999년 1월 19일 화요일 오후 06시 34분 16초 제 목(Title): [연재] 통계란 무엇인가 3. 날씨도 울적하고, 할일도 없고... 강의나 해야겠군요. ^^ statistics 의 역사는 순수과학중 가장 짧다. 옛날 유럽 맨델로프(?) 라는 수도사가 잡종교배를 하면서 거기에 대한 확률계산을 한게 시초가 아닐까 생각한다. 확률(probability)는 명백히 '파스칼' 로부터 나왔다. 그의 확률론에 대한 에세이가 시초다. 불행하게도 확률이나 통계가 수학의 튼튼한 체계위에 서기까지는 몇세기가 걸렸다. 그이유는,첫번째가 통계의 필요성이 없었다는 것이고 두번째는 통계의 sophisticated 한 개념을 제대로 설명할만한 수학적 기초가 발명되기 전이었기때문이다. 한국에서는 고등학교때부터 hypothesis testing을 병아리 감별을 이용해서 가르치고 있는데, 제대로 이해하는 학생이나 교사가 몇이나 될지 의문이다. 나역시, 병아리 감별을 해야했지만, 기계적인 숫자놀이였지만, 고등학교때 가장 싫어했던 부분이었다. 첫번째는 이해를 못했기에. 한국수학교육이 잘못된 이유중의하나로 이부분을 꼽고싶다. 19세기 수학은 뉴우턴,라이프니츠, 가우스,오일러등의 기계적인 수학의 최정점에 있었다. 그당시의 과학관이란, 라플라스적 시계태엽같은 파라다임을 가지고 있었다. 20세기 들어서면서부터 수학,물리, 화학등 기초과학에 일대 혁명이 일어난다. 절대적 라플라스적 세계관에서 상대적인 세계관으로 파라다임 시프트가 오게된다.수학에서도 예외는 아니었다. 그당시 수학에서는 더이상 풀문제란 '페르마정리' 등을 빼고는 없다는 비관론이 팽배했었다. 그건 물리에서도 모든것이 뉴우턴역학으로 설명이 가능하다고 보는 비관론이 만연했다. 수학에서의 새로운 시작은 아마도 '푸리에'로부터 오지 않았나한다. '푸리에 씨리즈' 를 푸리에가 만든이유가 '열전달' 현상을 설명하기 위해서였다. 열전달현상을 설명하는 물리공식을 diffusion equation 이라한다. 푸리에당시는 유일한 수학적 tool 이란게 인테그레이션과 미분을 벗어나지 못했다. 결국 디퓨젼식을 풀기위해 한 유일한 방법이란게, 주먹구구식으로 함수를 집어넣어서 함수를 대충 expansion시킨다음 coefficients of expansion 을 대충 근사 시킨게 바로 푸리에 씨리즈의 시작이었고, 이 씨리즈의 convergence,divergence 에대한 것이 바로 '무한'이라는 개념을 재조명하는 계기가되었다. '무한'이라는 생소한 개념에 대해 색다른 해석을 도입한게 '칸토르'였다. 칸토르의 무한에 대한 개념은 가히 코페르니쿠스적 혁명이었다. 사실 수학에 있어서 미적분 다음으로 혁명이 있었다면, 바로 칸토르의 '무한'에대한 개념이 아닐듯싶다. 칸토르는 '무한'이라는 그당시 많은 수학자들이 거부하던 개념을 마치 장난감 병졸들처럼 나열을 해서 order(순번)을 주며 수학적 개념으로 취급했다. '실수'들은 '자연수'들보다 더 많다라는 비수학적 혹은 psudo-science적 헛소리들을 지껄이다 결국, 수학자들의 조롱에 지쳤는지 아니면 스스로의 개인적문제였는지는 모르지만, 미쳐버렸다. '실수'들의 집합은 사실 '자연수'들의 집합보다 싸이즈가 크다. '무리수'의 집합은 역시 '유리수'의 집합보다 싸이즈가 크다. ( 임의의 두개의 무리수사이에는 언제나 유리수가 있고 임의의 두개의 유리수 사이에는 언제나 무리수가 있다. 고로 유리수와 무리수는 1대1 대응을 시킬수 있고 고로 두집합의 싸이즈는 같다. 뭐가 틀렸을까요? ^^ ) 이런 두개의 집합사이의 싸이즈를 비교하기위해 나온개념이 바로 measure란 개념이다. 메져란 그냥 function defined on sets 라고 생각하면된다. 보통 함수란 숫자 하나를 argument로 받아들이는데 함수가 임의의 집합을 argument로 받아들일수도 있는데 이럴경우를 특히 메져라한다. 그리고 집합의 싸이즈를 제기위한 function에 대해 20세기들어 본격적으로 연구가 되기시작했다. 레벡(Lebesgue) 이란 유명한 프렌치 analysist의 이름을 딴 Lebesgue measure 가 가장대표적인예인데, 수학자 레벡이 이런 함수를 연구하게된 계기는 역시 '무한'이라는 개념과 밀접한 관계를 가지고 있다. 레벡의 연구동기라면, 그당시 적분(지금은 그당시의 적분을 리만 인테그랄이라고 칭한다. )의 한계성에 있었다. 프렉탈같이 복잡하게 생긴 집합위에서 리만인테그랄을 정의하려면 한계에 도달하는데, 이러한 한계성을 극복한 인테그레이션을 만들었는데, 보통 레벡 인테그랄로 불린다. 레벡인테그랄의 특징은 함수의 도메인선상에서 적분값을 계산하지 않고 레인지상에서 계산을 해서 리만 인테그랄의 한계를 극복하게된다. 수학과의 일반적 커리큘럼에는 보통 한학기나 두학기의 measure theory 가 들어가게 되고 지금의 수학교육에 있어 필수적인 개념으로 자리잡고있다. |