| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pinkrose (Armor) 날 짜 (Date): 1999년 1월 19일 화요일 오후 02시 11분 39초 제 목(Title): probability 2. If X_i's are distributed independent identially distributed N(0,1) then show for a matrix A in O(n), n by n orthogonal matrix group, each componet of the vector AX is also i.i.d. N(0,1). where X is a colume vector formed by X_i's. 통계에서는 가장 중요한 디스트리뷰션으로 가우시안을 들수있는데, 열역학에 나오는 볼츠만 디스트리뷰션이 바로 가우시안입니다. 왜 많은 물리적 현상이나, 측정 에러등이 가우시안, 혹은 노르말 분포를 보이는가 하는 의문이 나올수 있는데 그건 아마도 이 분포의 커넬 (kernel) 이 rotation invariant하기 때문이 아닌가 하는군요. 물론 통계의 fundamental 이라고 할수있는 중간치정리( central limit theorem) 에서 보여지듯, 어떠한 random 석인 분포를 평균치 하면 궁극적으로(asymptotically) 가우스 디스트리뷰션에 접근한다는 이유가 더 근본적이긴 하다. 더욱 재미있는것은 가우시안 커넬로 일컬어지는 exp(-r^2) 이 푸리에 트랜스폼에 대해 역시 invariant 하다는 성질. (커넬은 상수등은 생략 노르말라이즈했음). 결국 정규분포는 여전히 푸리에 트랜스폼에 대해 정규분포의 성질을 가진다. (역시 상수등 노르말라이즈) fourier transform 이란건 일반적 integral transform 이 그러하듯, 함수를 smoothing 해준다. 아주 복잡하게 생긴 함수는 일반적 인테그랄 트랜스폼을 거치면 무척 부드러운 함수가 된다. 보통 digital image 를 부드럽게 만들어줄때 인테그랄 트랜스폼을 거쳤다고 보면 된다. 디락델타 펑셔날( dirac delta fuction은 엄밀한 의미에서 수학적 함수가 아니고 functional혹은 distribution 이라한다. 그래서 보통 in a distributional sense 라는 equivalence relation 선상에서 이러한 함수들을 취급할때 functional 이란 말을 쓴다.)의 경우 푸리에 트랜스폼으로 상수가 되는데, 이처럼 unstable 한 함수가 아주 부드러운 함수로 변화한다. 그런데 유독 가우스 분포만큼은 푸리에 트랜스폼선상에서 여전히 그 성질을 잃지않는다. 이유는 가우스분포 자체가 이미 부드러울대로 부드러운 smoothing 자체가 통하지 않는 분포이기 때문이다. 재미있는건 이러한 rotation invariant 한 성질은 그대로 random Gaussian vector 가 하 인바리안트(Haar invariant)한 성질을 가지도록 한다. n 차원상에서 원점 을 중심으로 reflection, rotation group 등을 한데 묶으면 메이트릭스로 n by n orthogonal matrix group O(n) 을 구성할수있다. 이 그룹은 반드시 Q'Q = QQ' = I for any Q in O(n) 을 만족시키기만 하면 된다. 정규분포가 하 인바리안트하다는 의미는 정규분포의 확률( Gaussian measure) 가 locally compact O(n) 상에서 결코 확률분포가 변화가 없다는 뜻이다. 결국 가우시안 으로 구성된 벡터는 아무리 회전을 시켜도 여전히 똑같은 가우시안 분포를 나타내서 회전전의 분포와 결코 구별할수 없다는 의미를 내포한다. 그래서 위의 문제는 통계에서 가장 중요한 문제중의 하나라 할수있다. 보통 학부 통계에서 가우시안 + 가우시안 = 가우시안이라는 additive rule 이란게 Haar measure(하 인바리안트한 성질을 만족하는 fuction 을 하 메져라 부른다.)의 아주 특별한 경우임을 알수있다. 흠..쓰고나니까 꽤 재미있네요. 이보드에는 통계하는분이 많이 없는것처럼 보이는데, 관심들이 있으시면, 아예 연재를 하고싶군요. 가능한 쉽게 expositary 한 성격으로... |