| [ PhilosophyThought ] in KIDS 글 쓴 이(By): pinkrose (개구리왕자) 날 짜 (Date): 1999년 3월 12일 금요일 오후 02시 55분 37초 제 목(Title): [카오스 송아지의 음메에~] 아무래도 카오스에대한 명확한 정의와 이걸 일상적인 물리현상이나, 뉴론등에대한 응용을 하는 기본적인 설명이 필요한것같네요. 무작정 카오스,무질서,혼돈,랜덤 이런개념을 아무데나 적용을 하니, 가끔가다 혼돈이 오는것같네요. (오늘저도 수리통계에서 가장 중요한 개념중하나인 conditioning이라는거 너무 맞는줄알고 한달동안! 계속적용해서 세페이지에걸치는 증명을 뭘하나를 했는데, 흑흑흑... 교수가 십분보더니, 너이거 틀렸쟌아! 그러곤 나머지는 쳐다보지도 않았음. 한달동안한게 완조니 ~ 무너지는 순간이었습니다. 아 이허무감을 여러분들과 함께 나누고 싶군요. 흑흑... 이이야기를 하는이유는, 기초개념에 학실하게~ 벽돌을 쌓아야 나중에 좀깊게 파고들때 저같은 재수 없는경우를 안당한다는교훈을 카오스에 빗대어 이야기하기위해서... 얼마나, 허무했던지... 밥이 목구멍으로 안넘어와서, 주스뿐이 못먹었음..뻥~ 뚤린 내가슴이여~) 암튼..카오스라는게 ....글쎄요... 수학적으로 나타낼수있는 모든 formula는 stochastic 한게 아니라면, 무조건 deterministic 합니다. 이의미는 fractal 생성하는 모든 수학적 리커션 z_n = f(z_1,... z_(n-1)) 의 n-th 항을 수학적으로 정확히! 구할수있다는 의미입니다. 아무리 복잡한 프랙탈이라고해도, 수학적으로 정확히! 그 좌표를 구하게되는겁니다. 문제는 리커션이 그렇듯이, 가끔, 복잡한경우는 exact closed form answer가 없다는건데, closed form이란것도, 수학적으로 정의하기나름이지요. integral form으로 나타낸것은 보통 closed form 이라고 치지않습니다. 예를 들면, Bessel 함수의 인테그랄 표현법등이지요. 아시겠지만, Bessel함수는 2차 비선형 recursion으로생성됩니다. 베셀함수를 infinite series 로 나타낼경우도 있고요... 이런건 전부 deterministic 하고, 시간만 널널하고, 계산기만 좋으면, 뭐 원하는만큼의 accuracy 로 머든지 계산이 가능합니다. 프랙탈도 마찬가지입니다. 프랙탈에서 n-th postion 구하고싶으면, 두르르륵.... 역시 시간만 널널하고, 아무리 복잡해도 머든지 구해집니다. 수학에서는 chaos라는건 없습니다. 글쎄요.. 누가 이건 '케이오스'다 라고 한건 못들어봤는데..있나? 케이오스라는건 어떤 수학적 object에다가 붙인 이름이 아니라, 어떤 다이나미칼 시스템의 성질 behavior로 붙인이름입니다. 그래서 보통 시스템이 chaotic하다 안하다로 구분을 합니다. 즉 시스템의 성질을 케이오틱하다 안하다라고 하지, 이건 케이오스,이건 찐빵..이런건 아직 본적이 없는것같네요. 이런 다이나미칼시스템... 수학에서 보통 다이나믹스라고 칭하면... 물리학에서... 다이나믹스(역학) 이라고 칭하는것과 동등한 의미입니다. 예를들면 2차원 프랙탈의경우는 대부분, 컴플렉스 평면상에서 주어진 initial point z_0가 주어질경우 여기에 대한 z_n=f(z_n-1 , ....) 로주어지는 리커시브 구조를 다이나믹스라 칭하고 여기에대한 연구를 하는거지요. 프랙탈이란 수학적 옵젝트를 지칭하는말로, 케이오스하고는 다릅니다. 프랙탈의 한성질로 케이오틱하거나 안그렇다고 할수는 있습니다. 케이오스를 정의하는건 다양합니다. 하지만 보통은 일반적으로, aperiodic dynamical system which is sensitive to initial condition이라는 정의를 사용합니다. 이건 물리학에서 많이쓰는 정의이고,수학에서는 좀더 엄밀하지만, 별상관이 없습니다. aperiodic이란말은 주기성이없다 규칙성이 없다는말인데, 꼭그렇지만은 않습니다. 예를들면, 주기성이 2,3,5 이런식으로 prime number로 주어졌다고 합시다. 그렇다면 전체 주기성은 greatest common divisor를 따라서, 주기가 1결국 aperiodic하다고도 합니다. 주기성이 2,3,5,...이런식으로 따른다면 오히려! 독특한 규칙성이 존재한다고도 볼수있거든요..그래서 aperiodic이라는의미에 너무큰 의미를 부여할필요는없습니다. 두번째로 이니샬포인트에 무척 센시티브하다는건데, 아마도 이점이 너무 오해를 받는것같습니다. 어떠한 수학적 시스템이 이니샬조건에 센시티브하다고해도, non stochastic system 일경우는 무조건 deterministic하고, 무조건 시간이 널널하면~ 머든지 구하게됩니다. 센시티브하다는의미는, 초기조건을 조금만 바꾸면, 먼미래에 z_n이 엄청 황당한데 가있어, 직접 계산을 일일히 하기전에는 결코 추측한다는자체가 상당히 불가능하거나, 조금만의 초기조건을 변화시켜도, 시간이 커지면커질수록, 그차이는 엄청나게 뻥튀기가되서, 나중엔 겆잡을수없게된다는거지, 무언가를 직접 구하는데 computable 인지 non-computable인지하고는 상관이 없는개념입니다. 케이오틱한 시스템이 컴퓨타블인지하고, (수학적인개념임) 컴퓨터알고리듬상에서 계산이 폴리노미알타임인지 이런 컴퓨타블개념(알고리듬적개념)하고 또 혼동하면 안되겠지요. 이쎄상에~ 무한만큼 있는것도 아무것도 없는데, 슈퍼컴퓨터 수억개만 평행으로 연결시키면, 이우주상에 있는 계산하는문제 안풀리는게 없죠. 컴퓨터가 필연적으로 못푸는문제가 존재는 하는데, 그건 당연히 컴퓨터가 기본으로하는 수학의 필연적 한계때문에 수학자체도 못해결하는문제가 있는데, 띨띨이컴이 뭘 하기를 기대한다는건 어불성설이지요. 음 말이 좀 이상하네... 암튼... 이걸 혼동하시면 안되지요. 제가 브레인구조를 뉴랄네트워크로 아이덴티피케이션할수없다고 한이유는 이런 컴퓨테이션하고도 관련이있습니다. 당연히 노드가 수억개가 된다고해도, 시간을 무한대로 주면 노드가 유한인데~~~ 머든지 풀립니다. 단지, 가까운장래에는, 극히 원시적인 아이덴티피케이션은 가능할지모르나, 브레인구조전체에대한건 힘들지 않을까해서 그랬거든요..저도 쓰고보니까..게츠비씨생각에 동의를 하지않을수없는..30년이면 지구가 30번도는시간인데... 히히..뭔일이 일어날지어떻게압니까? 스스로 겸허한 마음으로 자 신을 낮춰 낮은 곳에 위치하고 당분간은 자신의 연못에 물을 채우기에 전념하라． 개구리토정비결에 나온말. |