| [ PhilosophyThought ] in KIDS 글 쓴 이(By): limelite (환) 날 짜 (Date): 1996년06월09일(일) 07시35분01초 KDT 제 목(Title): [11D] 칼루자-클라인 이론 #120 백재성 (greyfox ) [11D] 칼루자-클라인 이론 10/15 22:48 117 line 칼루자-클라인 이론 1926년 스웨덴 물리학자 클라인(O.Klein)은 칼루자의 5번째 차원이 어 디로 가버렸는지에 대해 놀랄 만큼 단순한 해답을 제시했다. 클라인은 부가적 차원이 작은 크기로 '말려' 있기 때문에 이것을 깨닫지 못한다 고 발표했다. 이런 상황은 호스에 비유할 수 있다. 멀리 떨어져서 보면 호스는 단지 휘어진 선으로 보인다. 그러나 가까이 살펴보면 선에 나타 나 있는 점들이 관의 원주를 도는 원으로 판명된다. 클라인의 추측을 �뭬� 우리의 우주도 그와 같다고 가정해 보자. 우리가 3차원 공간에서 일반적으로 점으로 생각했던 것이 실제로는 4차원 공간 주위를 도는 작 은 원이라는 것이다. 공간에서의 어떤 점으로부터도, 작은 고리는 우리 가 인지하는 공간에서 위, 아래 또는 옆이나 다른 어디든지 간다. 우리 가 이런 고리들을 모두 파악하지 못하는 이유는 그들이 원주상에서 너 무 작기 때문이다. 클라인의 개념을 약간 취해 보자. 일부 문제점은 그런 고리들이 어디 에서 고리로 이루어지는지 우리가 상상할 수 없다는 것이다. 고리들은 공간의 내부에 있는 것이 아니라 물결모양의 선이 관에 표시된 고리를 따라 엄격하게 움직이는 것처럼 공간을 확장시켜 나간다. 우리는 4차원 이 아닌 2차원에서 이런 상황을 쉽게 그려볼 수 있다. 그럼에도 불구하 고 이 가정은 여전히 타당성이 있다. 물질이나 파동이 부가적 차원에서 는 제한없이 자유롭게 움직이지 않기 때문에 안정 궤도이든 파동 전달 이든 문제가 안된다. 5번째 차원은 여전히 거기에 있을 수 있지만 아 무것도 그곳을 통과하여 아주 멀리 갈 수가 없다. 물론 그렇게 되면 칼 루자-클라인 이론을 이용하여 우주 공간의 지름길을 여행할 가능성은 없다 - 과학소설가들에게는 참으로 애석한 일이지만! 클라인은 전자와 다른 입자가 갖는 단위 전하의 값과 입자 사이에 작 용하는 중력의 크기로부터 5차원 주위에 있는 고리의 원주를 계산해 냈 다. 이 값은 10의 -32승 센티미터이거나 대략 원자핵 크기인 10의 -20 승 크기로 산출 되었다. 우리가 5번째 차원을 알아채지 못했던 것도 놀 랄 만한 일은 못된다. 왜냐하면 그것은 여지껏 파악된 아원자 입자의 구조보다도 훨씬 작게 말려 있기 때문이다. 이를테면 원자가 5번째 차 원을 돌아다니는 것은 전혀 문제가 안 된다. 오히려 우리는 어떻게든 부가적 차원을 원자 내부에서 생각해야 한다. 이런 독창성에도 불구하고 칼루자-클라인 이론은 50년 넘게 수학적인 호기심 정도로만 남아 있었다. 1930년대에 약력과 강력이 발견되어 중 력과 전자기력을 통일시키려는 개념 때문에 이 이론은 설득력을 많이 잃게 되었다. 성공적인 통일장이란 2개가 아닌 4개의 힘에 맞춰져야 한 다. 이 수준까지는 약력과 강력의 적절한 이해를 얻고 나서야 도달했 다. 1970년대 후반에 GUT(통일장이론)와 초중력 이론은 이론 물리학자 들의 마음에 새로움을 불어 넣었고 일부는 옛날 칼루자-클라인 이론을 떠올렸다. 지금까지 알려진 힘들은 확장된 범위에 맞추기 위해 신속히 구태에서 벗어나 벗어나 재구성되었다. 우리가 앞장에서 보았듯이 GUT에서 단일 개념적 우산 아래 3개의 서로 다른 종류의 힘을 포함시키는 이론 물리학자들의 능력은 3개의 모든 힘 들이 게이지 장 속에 기술될 수 있다는 발견에 따라 나름대로 정해진 다. 이들 게이지 장의 주요 특징은 특정 추상 대칭이 나타나며, 대칭들 이 어떻게 하여 아름다움과 능력을 얻는가를 말해 준다. 힘의 장에서 대칭의 출현은 이미 현재 연구중인 일종의 감춰진 기하에 강한 암시를 시사한다. 재생시킨 칼루자-클라인 이론에서 게이지 장의 대칭은 구체 화되었다; 그들은 부가 공간 차원과 관련된 기하학적 대칭인 것이다. 이 이론의 최초 해석에 의하면 힘들은 이미 알려진 시공에다 더 많은 공간 차원을 덧붙여져 이루어진다 하지만 우리가 지금 맞춰 나아가야 할 3가지 힘들은 몇개의 추가 공간 차원을 요구한다는 사실이다. 통일 장 이론 속에 담겨있는 대칭 작용의 수는 7개로서 이 수는 부가적 차원 을 의미하여 전부 10개의 공간 차원을 만들고 시간과 더불어 11시공 차 원으로 이론을 이끌어 낸다. 칼루자-클라인의 현대적 해석은 11차원적 우주를 가정한다. 다시 한번 우리는 7개의 부가 공간 차원이 어떻게든 아주 작게 '말려 있어서' 그것을 보지 못한다고 가정해야 할 필요가 있다. 1개의 부가 차원이 말리는 방법은 한 가지밖에 없는데 바로 원으로 말리는 것이다. 그러나 고차원 공간들은 여러 가지 방법으로 압축될 수가 있다. 예를 들어 2차원 표면은 구의 표면이나 (원환체로 알려진) 도넛 형태로 만들 수 있다. 비록 2개의 구조가 닫혀 있더라도 매우 작게 만들어질 수 있 으며 그들의 위상 기하에서는 아주 다르게 된다; 도넛은 구멍을갖게 된다. 7차원에 이르게 되면 위상 기하의 범위는 엄청나다. 어느 모양이 옳을 까? 특별히 매력적으로 선택할 만한 것은 단순히 7차원 구면 (seven-sp here) 으로 알려진 구의 7차원적 유추 해석이다. 만일 보이지 않는 공 간 차원이 이런 형태를 정말로 갖는다면 3차원 공간에서의 모든 점들이 사실은 미세한 7차원적 '초월구면(hyperball)'이라는 것을 의미한다. 7 차원 구면은 풍부한 기하학적 특성과 함께 수많은 독특한 모습을 지니 기 지니기 때문에 50년 이상 수학자들의 관심을 끌었다. 자세한 내용을 여기서 다룰 필요는 없지만, 만일 자연이 우리가 실제 세계에서 인식하 는 근본적인 힘이나 장 같은 어떠한 것도 허용을 하는 닫힌 기하학적 구조를 찾아낸다면, 7차원 구면은 가장 간단한 선택이 될 것이다 .원자 에서 은하계에 이르기까지 일부 간단한 수학적 배열로 우리가 아는 구 조들을 이해 할 수는 없을 것이다. 구는 상당히 대칭적인 모양인데 7차원 구면은 보통의 구에서는 찾지 못하는 추가 대칭을 많이 포함하고 있다. 이들은 힘의 장의 토대를 이 루는 게이지 대칭에 적합하도록 만들어졌다. 그렇지만, 물리학자들이 이 힘을 증명하기 위해 그토록 오랜 세월이 걸렸던 이유 중의 하나가 8 장에서 기술된 형태에서 보인, 때때로 숨겨진 대칭 또는 대칭 파괴 때 문이다. 칼루자-클라인 이론에서 이 대칭 파괴는 정밀한 구와는 다소 떨어진 7차원적 구조의 모양을 비틀면서 얻어진다. 이 '일그러진' 7차 원 구면은 이와 같이 보이지 않는 압축된 부가 차원에 대해서 가장 만 족스러운 모양으로 나타난다. 소생된 칼루자-클라인 이론은 너무나 고무적인 것으로 증명되었기 때 문에 11차원내에서 물리 법칙을 재조명하게 되었다. 한 가지 떠오르는 문제는 왜 7-4로 쪼개지는가를 밝히는 일이다. 4개의 차원은 직접적인 경험이 가능하지만 7개 차원은 보이지 않게 말려 있어야만 하는 이유는 무엇이며 왜 8-3과 같은 다른 구성은 가능하지 않은가? 7차원이 왜 자발적으로 압축되어야 하는가 하는 이유를 찾는 과정에서 이론 물리학자들은 물리적 체계가 언제나 최저 에너지 상태를 찾아내려 는 경향이 있다는 가정에 대해 연구해 왔다. 우리는 8장에서 '멕시코 모자' 표면에서의 공과 같은 좋은 예를 살펴보았다. 여기서 공은 '모자 의 가장자리'에서 최저 에너지의 안정된 상태를 결국에는 찾게 된다. 다시 말하면 축소된 7차원 구면이 어느 의미에서는 최저 시공 에너지 구성 상태를 시사해 준다. 바꿔 말하면, 7차원 구면 구성 상태가 유일하게 가능성이 있는 배열이 라고 생각하는 것이다. 우리가 관측하는 우주의 범위를 넘어서 우주 멀 리에 공간이 다른 차원을 가진다고 생각하는 것은 매력적인 일이다. 만 일 우리가 수십억 광년을 여행 할 수 있다면 우리는 3차원 공간 대신에 5차원 공간의 우주내에서 우리자신들을 찾아야만 한다. 만일 그렇게 된 다면 "어째서 3이어야 하는가?"하는 물음에 대답할 수 있게 된다. 11차 원의 시공은 명백히 다른 차원의 영역으로 될 수 있다. 힘의 장의 구조 는 압축된 차원의 기하학적 대칭에 의존하기 때문에 이 힘들은 이 영역 과 저 영역에서 서로 다를 것이다. 이런 차이점을 더하게 되면 안정 궤 도나 파동 운동 등 앞에서 논했던 많은 문제가 생길 것이다. 이런 모든 것은 7-4 분리를 갖지 못하는 영역에서 물리적 조건들이 우리 자신의 우주에 있는 조건들과는 상당히 다를 것이라는 것이 확실하다. 이런 다 른 영역에서 생명체가 번성하고 존재한다는 것이 의심스러운 일이다. 유기체는 상당히 섬세 하여 우리의 우주 영역내에서 발견되는 독특한 힘의 적절한 혼합물에 결정적으로 의존하는 것 같다. 이는 우리가 관측 자로서 3개의 인식 가능한 공간차원과 더불어 시공의 영역을 선택했음 을 시사해 준다. 우리는 존재할지도 모르는 어떤 다른 차원의 영역에서 간단하게 살 수가 없다. |