| [ KAIST ] in KIDS 글 쓴 이(By): chopin (** 쇼팽 **) 날 짜 (Date): 2004년 1월 11일 일요일 오전 01시 35분 59초 제 목(Title): [계층구조론]이해-3.2 수학적 증명과 이해 <div id=l123___ style="absolute; width:600;"> 수학적인 증명은 인간이 이해를 돕기 위해 개발한 방법 중 하나이다. 수학적인 증명은 인간이 이해하기 적합한 형태로 매 단계마다 패턴화된 추론 논리를 전개하는 방식으로 이루어 진다. 따라서 수학에서의 증명 역시 매단계마다 선형논리를 동원한다. 수학적인 증명은 필요한 수학적 지식을 갖는 사람에게 그 문제를 이해하도록 해준다. 그 증명과정 자체 하나하나가 이해를 위해 필요한 뇌활동을 돕는 것이다. <br> 수학적 증명역시 변수를 정하고, 변수들 사이의 관계를 정하는 방식으로 생성원리와 생성결과 사이의 관계를 밝히는 것에 의해서 이루어 진다. 수학적 증명의 단계 하나하나는 생성원리에 해당하고, 그 증명된 결과가 생성 결과에 해당한다. 이는 적절한 개념을 정하고 그 개념들 사이의 규칙을 정하는 인간의 이해방식과 동일 한 것이다. 수학적 증명에서의 약간 다른 점은 생성원리가 비교적 복잡한 반면, 생성결과는 참이나 거짓 등 비교적 간단하다는 것뿐이다. <br> 이러한 수학적 증명을 통해서도 인간이 이해할 수 있는 것에는 한계가 있다. 수학적 증명도 A->B 형태의 선형적으로 패턴화된 논리집합을 찾아내는 것이다. 따라서 비선형적인 현상 모든 것을 수학적으로 증명하는 것은 그것을 통째로 시뮬레이션 하는 것과 동일한 작업이 된다. 그렇게 되면 증명을 위해 동원해야되는 논리량이 폭증하게 되고 논리량의 장벽때문에 이해불능에 빠지게 된다. <br> 이 비선형세계의 논리량의 장벽이외에도 수학적 증명으로는 해결되지 않는 세계가 또 있다. 세상에는 증명 불가능한 많은 문제들이 있다. 일반적인 상식과는 다르게 수학적으로 여러단계를 거쳐서 만들어낸 결론들 안에서 모순이 전혀 없는지를 증명하는 것은 불가능하다. 이러한 일이 발생하는 이유는, 논리가 서로 순환구조에 빠졌을 때 그것의 모순을 그 논리체계 안에서는 밝혀낼 수 없기 때문이다. 괴델은 불완전성 정리에서 임의의 논리집합에 모순이 없는지를 판별하는 것은 불가능하다는 것을 증명해내었다. 그림 14에서 이를 설명할 간단한 예를 든다. <br> “A라는 사람은 B가 거짓말쟁이라고 말한다.” “B라는 사람은 A가 거짓말쟁이라고 말한다.” <br> 그림 14. 순환구조에 의한 논리의 모순 <br> A는 B가, 그리고 B는 A가 서로 거짓말쟁이라고 주장하고 있다. 여기에서의 이 두 가지 논리는 누가 거짓말쟁이인지를 복잡하게 표현하고 있는 것처럼 보이지만, 실제로는 이 두 논리 안에는 누가 거짓말쟁이인지에 대한 정보는 전혀 없다. 단지 그 논리 하나 하나를 볼 때 마치 그 정보가 주어진 것처럼 착각하게 하는 것뿐이다. 각각의 논리가 진짜인지 가짜인지에 대한 정보가 없기 때문에 사실상 아무런 정보도 없는 셈이다. 정보가 없는 상태에서 그 답을 찾거나 증명을 하지 못하는 것은 당연한 것이다. <br> 이러한 순환 논리에 의한 모순은 수학적 증명이 갖는 근본적인 한계이다. 또한 이는 논리세계의 한계이기도 하다. 수학적 증명체계 안에 숨어있는 순환논리는 찾아내는 것이 매우 어렵고, 괴델의 불완전성정리에 의하면 일반적으로 그 안에 모순이 없다는 것을 증명하는 것자체가 불가능하다. 왜냐하면 그 모순이 없다는 증명자체가 올바른 것인지 또다시 증명해야하고, 이는 끝없이 꼬리에 꼬리를 무는 증명을 반복적으로 요구하기 때문이다. <br> <img src=http://brainew.com/writings/brain/hierarchyTheory/Understanding/[LogicHierarchy]WhatIsUnderstanding.files/image036.jpg> 그림 15. 에셔의 “그림그리는 손”. 각각의 논리 하나하나에는 문제가 없더라도 그것이 모여 순환구조를 이룰 때 모순이 발생할 수 있다. 그 모순은 그 논리체계 밖에서 관찰했을 때 발견된다. <br> 우리는 많은 문제에 대해서 수학적으로 증명하면 그것을 절대적인 진실인 것처럼 받아들이려 하지만, 그런 과정을 통해서 만들어진 논리집합에 모순이 없다는 보장은 없다. 이것이 바로 논리세계가 갖는 근본적인 한계이다. 또한 논리를 이용하는 이해자체의 한계이기도 하다. <br> 그림 16에서 수학적으로 증명가능한 영역과 불가능한 영역, 그리고 이해가능한 영역을 보인다. 이해가능 영역은 선형적 논리에 의해 표현가능한 문제에 해당한다. 그리고 증명가능 영역은 동원되어야 하는 논리량이 인간의 한계를 넘는 비선형 문제까지 포함한다. 그리고 증명불가 영역은 수학적으로 증명하는 것 자체가 불가능한 논리세계의 영역이다. <br> <img src=http://brainew.com/writings/brain/hierarchyTheory/Understanding/[LogicHierarchy]WhatIsUnderstanding.files/image038.gif> 그림 16. 논리세계의 분류. 이해가능영역은 증명가능문제 중 일부에 국한된다. <br> 이렇게 모든 논리세계 중에서 인간이 이해할 수 있는 영역은 증명가능한 문제 중의 일부에 국한된다. 인간은 논리를 통해서 세상을 이해한다. 논리는 그 불완전성 때문에 증명가능한 영역이 제한되어 있으며, 그 중에서도 선형적인 논리체계를 갖는 문제들에 한해서 인간의 이해가 허용된다. <br> 인간의 이해는 이렇게 매우 제한적인 영역에서만 이뤄진다. <br> </div> __ 쇼팽 e-mail: c h o p i n x e n a k i s 2 @ h o t m a i l . c o m homepage: http://brainew.com Copy right by author (c) All rights reserved. |