| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): lontano (lontano) 날 짜 (Date): 2006년 7월 25일 화요일 오전 05시 45분 51초 제 목(Title): Re: 구의 중점을 포함할 확률 우선 쉬운 문제부터. 1차원에서 어떤 구간에서 두 점을 임의로 잡았을 때 두 점을 잇는 선분이 구간의 중점을 포함할 확률은 당연히 1/2. 2차원 문제. 원주 위에서 임의로 세 점을 잡았을 때 세 점이 이루는 삼각형이 원의 중심을 포함할 확률은? A와 B가 이미 정해져 있는 상황에서 삼각형 ABC가 중심 O를 포함하도록 C를 고르려면 A와 B의 대척점 A'와 B'이 이루는 호(arc) 중에서 짧은 쪽 위에 C가 있어야 합니다. (A와 A'의 중점, B와 B'의 중점은 O.) 따라서 확률은 A와 B를 연결하는 짧은 호의 길이에 비례합니다. 원주 상에서 임의로 두 점 A와 B를 잡으면 A에서 B까지 시계반대방향으로 잰 각도는 구간 (0,2*pi)에서 uniform distribution을 가집니다. 편의상 각도를 2파이로 나눈 값을 x라 하면 확률밀도함수는 P(x) = 1 (0 < x < 1). 짧은 호의 길이를 2파이*반지름으로 나눈 값을 l이라 하면 l(x) = x for x < 1/2 1-x for x >= 1/2 l의 평균은 P(x)*l(x)를 0에서 1까지 x에 대해서 적분하면 1/4. 적분할 것 없이 간단히 생각하면... A, B, A', B' 네 점이 원주를 4분하는데 (4등분은 아니고) 각 4분원의 호의 길이의 평균은 모두 원주의 1/4이겠죠. 3차원은 그럼 1/8? 일반적으로 n차원에서는 (1/2)^n? 2차원과 같은 방법을 적용하면... 사면체 ABCD가 중심을 포함하려면 A'과 B', B'과 C', C'과 A'를 각각 연결하는 대원(great circle)의 짧은 호로 둘러싸인 표면 안에 D가 있어야겠죠. 그 표면의 면적의 평균값을 구하면 되는데 적분 계산은 못하겠고... A, B, A', B'을 잇는 대원1, B, C, B', C'을 잇는 대원2, C, A, C', A'을 잇는 대원3 이렇게 세 대원은 구의 표면을 8분하게 되고 각 8분면의 면적의 평균은 구의 표면적의 1/8이겠죠. http://mathworld.wolfram.com/SphereTetrahedronPicking.html 사족: 구의 표면에서 랜덤하게 점을 잡을 때 spherical coordinates의 theta(polar angle)와 phi(azimuthal angle)를 각각 (0, pi), (0, 2*pi) 구간에서 uniform하게 고르면 북극과 남극 주변에 점들이 더 몰리게 되어서 안됩니다. http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html |