| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): parsec ( 먼 소 류 ) 날 짜 (Date): 2002년 3월 29일 금요일 오전 01시 43분 50초 제 목(Title): Re: [문제] 두 봉투의 역설? 교환이 영합 게임이 되는 것은 10만원 = a 인 경우 교환에 의해 10만원을 가진 사람은 10만원의 이익을 볼 때 2a를 가진 사람은 10만원의 손해를 보고, 10만원= 2a인 경우 10만원을 가졌던 사람은 5만원의 손해를 볼 때 5만원을 가졌던 사람은 5만원의 이익을 보기 때문입니다. 현실적으로 봉투를 받으면서 무한대의 수익을 얻기를 기대할 수는 없지만 일단 10만원을 받았다고 했을 때 경우는 딱 2가지로 압축됩니다. 5만원~10만원 짝이거나, 10만원~20만원 짝인 경우죠. 돈이 아니라 숫자의 짝이라고 생각하면 주어진 조건만으로 봤을 때 이것은 명백합니다. 마치 소립자의 파동함수가 무한한 공간에서 노말라이즈되지 않지만 일단 관측된 입자의 파동함수는 특정 범위 내에서 일정한 확률분포를 가지게 되는 것과 비슷합니다. 혼동의 원인은 본질상 수학적인 문제를, 문제에서 언급되지 않은 현실세계의 조건을 고려하여 풀려고 하는 것입니다. 문제를 다음과 같이 바꿔봅시다. 두 수의 짝(a, b > 0) 이 있고 a≠b이다. Max(a,b)/Min(a,b) == 2이고, a == 10이라 하자. a>b일 확률과 a<b일 확률은 각각 1/2라 한다. b 의 기대값은 얼마인가? -- a값이 알려져 있다는 것은 더이상 a 가 b와 같은 미지수가 아니라는 입니다. 고정된 a값이 b의 기대값을 a보다 크게 만드는 것입니다. 이 문제의 경우 b의 기대값은 5/4 a가 됩니다, 5/4 a가 됩니다. a를 가졌다고 할 경우 교환이익의 기대치는 a/4가 될 것입니다. 반대로 a가 미지수이고 b가 알려졌을 경우 a의 기대값은 (5/4)b가 될 것입니다. 즉 교환이익 기대치는 -b/4가 됩니다. 즉 자기가 받은 봉투는 열어보지 않고 다른 봉투를 열어 보여준 뒤 교환을 할것인지 물어보면 열어본 봉투의 값이 10만원이라면 교환으로 얻게 될 금액의 기대치가 -2만5천원이 되기 때문에 교환하려 들지 않을 것입니다. 즉 값이 알려지지 않은 쪽이 알려진 쪽보다 기대치가 높게 되어 '대칭성'이 유지되는 것입니다. 그 이유는 봉투를 열어 금액을 확인하는 순간 (선택한 봉투, 나머지 봉투)의 순서쌍에서 가능한 (5만, 10만), (10만, 5만)의 두가지 경우 중 전자를 버리게 되고, (10만, 20만), (20만, 10만)의 두 가지 가능한 경우 중 후자를 버리게 되므로 열어서 확인한 금액을 중심으로 확률분포가 재편되기 때문입니다. 물론 다른 모든 가능성들도 사라져버리고 알려진 정보를 중심으로 모든 확률 분포가 normalize됩니다. ◇ ~~~_ _ ∴ ~|~| | _/__, SEP. 11. 2001 _ ∴∴ _ ~ | | ＼ ` Armorica under a tat ,-| `,-,_| |__ | | | A ______|_|__|_|___|__|| | |__|_|_____________________________________ |