| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): parsec ( 먼 소 류 ) 날 짜 (Date): 2002년 3월 28일 목요일 오후 06시 14분 54초 제 목(Title): Re: [문제] 두 봉투의 역설? [마지막 숫자 계산 결과 수정합니다] 현실적으로는, 총 액수가 많을 수록 봉투에 들어있을 확률이 적다고 가정하면 될것도 같은데요. P(x) = C exp(-x/t) 라고 가정하면, 열어서 확인한 금액이 m일 때, 경우1) m = x/3 이고 다른 봉투에 2x/3 = 2m 이 들어있을 확률은 P1 = C exp(-3m/t) 경우2) m = 2x/3 이고 다른 봉투에 x/3 = m/2 이 들어있을 확률은 P2 = C exp(-1.5m/t) Normalize하면 p1 = P1/(P1+P2), p2 = P2/(P1+P2) 증가 금액의 기대치는 E = +m p1 + -.5m p2 = (m exp(-3m/t) - .5m exp(-1.5m/t))/(exp(-3m/t) + exp(-1.5m/t)) <-- m/t=y = (m exp(-3y) - .5m exp(-1.5y))/(exp(-3y) + exp(-1.5y)) = (m exp(-.75y) - .5m exp(.75y))/(exp(-.75y) + exp(7.5y)) = .25m -.75m tanh(.75y) = .25m ( 1 - 3 tanh(.75m/t) ) 이니까 parameter t의 값에 따라 기대치가 달라지겠는데요. t는 문제의 후원자의 재력과 배짱에 따라 규모가 달라지겠죠. t가 무한히 크다면 기대치는 실제로 0.25m 이 될테고, t << 0.75m 이라면 기대치는 -0.5m에 가까워질 겁니다. 기대치가 0이되는 t값은 tanh(0.75m/t) == 1/3 0.75m/t = atanh(1/3) t = 0.75m / atanh(1/3) ~ 2.16404 m 정도가 되겠습니다. E vs. t/m를 그래프로 그리면... E^ +0.25 ---> | | ******** | ************************ | *********** | ******* | ***** | *** +--------------*+***---------------------------------------------------------> O| * t/m | ** ^ | * | | * | | * 0.75/atanh(1/3) | * | | * | * | | * | | * | * |** <-- -0.5 ◇ ~~~_ _ ∴ ~|~| | _/__, SEP. 11. 2001 _ ∴∴ _ ~ | | ＼ ` Armorica under a tat ,-| `,-,_| |__ | | | A ______|_|__|_|___|__|| | |__|_|_____________________________________ |