| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): Zaharang (_자하랑) 날 짜 (Date): 2002년 3월 27일 수요일 오후 06시 06분 16초 제 목(Title): Re: [문제] 두 봉투의 역설? 1. 서론 이 글은 Barry Nalebuff가 1988년과 89년에 제시한 '봉투교환의 역설' ( The other person's envelop is always greener)의 해법에 대한 논문이다. 많은 이 들이 이 역설에 대해 여러 해법들을 제시하였으나, 그 해법이 만족스럽지 않 거나, 그러한 해법이 적용될 수 없도록 문제를 계속 바꾸어 가는 것이 가능 하였다. 우선은 다른 이들이 그동안 제시했던 해법을 살펴본 후, 이 문제를 조건부 기대효용의 합리적 구성과 관련하여, 역설이 일어나는 경우, 봉투 금 액의 확률 분포는 잘 정의된다 하더라도, 기대효용이 사전적인 의미뿐 아니 라 사후적 의미에서도 잘 정의될 수 없음을 보임으로써, 사실상 이러한 역설 적인 상황이 발생할 수 없음을 보이고자 한다. 2. 봉투교환의 역설 - 기존의 논의들에 대한 고찰 2.1. 봉투의 금액이 유계인 경우 봉투교환의 역설이란, 두 사람이 금액이 두 배 차이나는 봉투를 받는 경 우, 두 사람 모두 그 봉투 금액과 상관없이 항상 상대방의 봉투와 교환을 함 으로써 이익을 기대하게 된다는 것으로, 사실 봉투를 서로 교환한다는 것만 으로는, 총액 자체가 불변이므로 두 사람 모두 나아지는 것은 불가능하다. 이러한 상황을 역설이라고 보는 것이다. 예를 들어 보자. 우선 봉투에 들어갈 수 있는 금액이 1, 2, 4, 8, 16, 32로 한정되어 있는 경우를 생각해 보자. 교환은, 물론, 두 사람 다 교환을 원할 경우에만 일어난다고 가정하고, 논의의 단순화를 위해 두 사람의 기대효용함 수가 위험중립적이라고 가정하자. 또한, 두 참가자에게 제시된 두 봉투중 높 은 액수의 봉투를 선택할 확률은 (동전 던지기등을 이용하여) 각각 {{{{1over2 `` }} }}이라 하자. 첫번째 참가자가 받은 봉투의 금액이 4인 경우 상대방이 받았을 봉투 의 금액의 기대값은 {{{{1over2 times 2 + 1over2 times 8 = 5 }} }}이므로 상대방과 봉투를 교환하기를 바랄것이다. 이 때, 두번째 참가자가 받은 금액이 8이라면, 상대방이 받은 금 액의 기대값은 같은 방식으로 {{{{1over2 times 4 + 1over2 times 16 = 10 }} }} 이므로 마찬가지로 첫 번째 참가자와 봉투를 교환하기를 바랄 것이다. 단지 봉투가 교환될 뿐이라 면 결코 두 사람 모두 더 나아질 수는 없는데 어떻게 두 사람 모두 봉투를 교환한다는 것만으로 수익을 기대할 수 있는가? 그러나, 위의 경우와 같이 봉투에 들어갈 수 있는 금액에 상한이 있다면, 봉투의 교환은 일어나지 않는다. 우선, 한 참가자가 금액이 32인 봉투를 받 았다면 그는 교환을 할 경우 16의 손해를 볼 것이므로 교환하려하지 않을 것이다. 그렇다면, 한 참가자가 금액이 16인 봉투를 받았을 때, 상대방이 봉 투를 교환하고자 하는 금액이 32라면 그 상대방은 교환을 원하지 않을 것 이므로, 상대방이 교환을 원할 경우는 그가 받은 금액이 8일 경우 뿐이라고 생각할 수 있고, 따라서 금액이 16인 봉투를 받은 참가자 역시 교환을 원하 지 않을 것이다. 이와같은 논리로 계속 금액이 8, 4, 2 인 경우까지 적용하면 쉽게 교환이 일어나지 않을 것임을 알 수 있다. 2.2. 봉투의 금액에 상한이 존재하지 않는 경우 그런데, 문제는 봉투에 들어갈 수 있는 금액에 상한이 없다면 어떻게 될 것인가이다. 두 참가자에게 금액이 2배차이인 봉투를 줄 경우 각각은 자신이 받은 봉투금액을 보고, 상대방과 교환활 경우 100%의 이익이나 50%의 손해 가 있을 것이므로, 봉투 교환에서, 그가 받은 금액에 상관없이 25%의 이득을 기대하게 된다. 그러나, 단순한 봉투 교환으로 두 사람 모두 이득을 볼 수는 없다. 이러한 경우에 그 금액에 어떠한 상한이 존재하지 않는다면, 앞에서와 같은 논리전개는 불가능하다. 이에 대한 한가지 설명은 이러한 논리가 상대적 이익 (혹은 percentage gain)과 절대적 이익에 대한 혼동으로 야기된 것이라는 주장이다. 교환에 의 해 얻을 수 있는 상대적 이익은 자신이 받은 봉투의 금액과 상관 없이 항상 0 보다 클 수 있으나, 사전적으로, 즉 자신이 받은 봉투속의 금액을 확인하 기 전에 교환에 의해 기대할 수 있는 절대적 이익은 0이라는 것이다. 예를 들어, A가 a, B가 b를 ( 0< a< b) 가진 경우 교환에 의한 percentage gain은 A는 {{{{rm b OVER a -1 }} }}, B는 {{{{rm a OVER b -1 }} }} 이고 total gain은 {{{{rm{a SUP2 + b SUP 2 -2ab} OVER ab >0 }} }} 이나, 봉투의 교환은 단지 영합게임 ( zero-sum game )에 불과하므로, 봉투를 개봉하기 전 에 기대할 수 있는 교환에 의한 수익은 0이라는 것이다. 물론, 봉투를 열기 전에는 봉투교환에 의한 사전적 기대수익이 0임은 옳 다. 그러나, 문제는 왜 그들이 자신의 봉투를 열어보기만 하면, 그 금액에 상 관없이 상대방과 봉투를 교환하고 싶어하는가이다. 즉, 봉투를 개봉한 후의 사후적 기대값이 왜 상대적뿐 아니라 절대적으로도 0보다 큰가이다. 2.3. 적절한 확률분포하에서의 역설 다른 설명도 있다. 위의 역설에서 각 참가자가 자신이 받은 봉투 금액에 관계없이 상대방이 더 높은 금액을 가지고 있을 확률이 {{{{rm 1 OVER 2 }} }}이라고 보는 것 은 잘못되었다는 것이다. 이러한 조건부 확률이 성립하기 위해서는 봉투에 들어갈 수 있는 가능한 모든 액수의 사전적 확률이 모두 동일해야 하는데, 봉투의 금액에 상한이 존재하지 않는다면, 이러한 확률분포는 모든 액수에 대해 0이어야 하므로, 모순이라는 것이다. 각 참가자의 봉투의 금액이 x일 확률을 f(x)라 하면 {{{{rm Pr [두번째~ 참가자가~받은~ 금액=2x |첫번째~참가자가~받은~금액~ =x] }} }} {{{{= f(2x)OVER {f(2x) + f ( {x OVER 2})}= 1 OVER 2 }} }} 이라면 {{{{rmf({x OVER 2})=f(2x) , x>0 }} }} 이고, 이는 f(x)가 x값에 상관없이 항상 일정할 것을 요구하는 것이데, 이 에 맞는 적절한 확률분포가 존재할 수 없다. 즉, 위의 논리는 기본적으로 uniform distribution을 암묵적으로 가정한 것이며, 이러한 분포는 불가능하다. 이 설명은 위의 설정에서는 타당하다. 그러나, 봉투속에 들어갈 수 있는 금액을 1,2,4, ,{{{{rm2 SUP n }} }}, 와 같이 일정하게 한정하는 경우, 적절한 사전적 확률 분포를 배정하면서 둘다 교환의 이득을 기대하도록 하는 것이 가능하다. 즉, 적절히 문제를 변형함으로써 여전히 교환의 역설이 발생하도록 할 수 있다. 이 글에서 논의하고자 하는 것도 이러한 경우에서의 해법에 대한 것이다. 예를 들어 금액을 1,2,4, ,{{{{rm2 SUP n }} }}, 로 한정할 경우 {{{{Pr rm [ min rm (a,b)={2 SUP n}] = 1over 2 ^n+1 ,~~n=0,1,2,... }} }} 인 경우를 생각해 보자. 이는 모든 확률의 합계가 1인, 잘 정의된 확률분 포이다. 첫번째 참가자가 받은 금액이 a일때 사후적으로 상대방이 받은 금액 b가 a보다 클 확률은 {{{{Pr rm(b>a | a={2 SUP n})= {1over2 times 1over2^n+1 }OVER {1over2 times 1over2^n+1 + 1over2 times 1over2^n }={1OVER3} ,~~n=1,2,3,... }} }} 이므로, 첫번째 참가자가 X라는 금액을 받을 때, 교환으로 기대할 수 있는 금액은 {{{{2 OVER 3 × X OVER 2 + 1OVER 3 ×2X = X }} }} 이다. 따라서, 이 확률 분포에서는 둘다 교환에 대해 무차별 하며, 확률분포가 가 {{{{rmPr[ min(a,b)=2^n ] = 2over3 times left( 1over3 right) ^n }} }} 과 같이, 보다 빨리 0에 수렴하는 경우 에는 교환을 할 때의 기대 수익이 0보다 작아 교환을 하려하지 않을 것이고, 이와 반대로 {{{{rmPr[min (a,b) =2^n ] = 1over3 times left( 2over3 right) ^n }} }} 과 같이 보다 느리게 0에 수 렴하는 경우에는 사후적 기대수익이 0보다 크게 되어 둘다 교환을 선호하게 될 것이다. 예를 들어 {{{{rmPr[min (a,b) =2^n ] = 1over3 times left( 2over3 right) ^n }} }} 의 경우, 자신이 받 은 금액을 X, 상대방이 받은 금액을 Y라 할 때, 상대방의 봉투의 금액에 대 한 사후적 기대값을 계산하면 {{{{E``(`Y``|`` X= 2^n )~=~ 2^n+1 times { 1over 2 1over3 left( 2over3 right)^n } over { 1over2 1over3 left( 2over3 right) ^n + 1over2 1over3 left( 2over3 right) ^n-1 } }} }} {{{{+~ 2^n-1 times { 1over 2 1over3 left( 2over3 right)^n-1 } over { 1over2 1over3 left( 2over3 right) ^n + 1over2 1over3 left( 2over3 right) ^n-1 } }} }} {{{{= 2^n+1 times 2over5 + 2^n-1 times 3over5 }} }} {{{{=~ 2^n-1 times 11over5 ``>`` 2^n ,~~~~n=1,2,3,... }} }} {{{{E``(`Y``|`` X= 1)~=~ 2 ``>``1. }} }} 이므로, 봉투의 액수에 상관없이 항상 교환하기를 바랄 것이다. 좀 더 일반적으로 교환의 역설이 발생할 수 있는 확률분포에 대해 살펴 보자. 위에서 상한이 존재할 경우를 연장하여 생각해 보면, 봉투의 금액이 특정한 어떤 값을 가질 때 교환하려 하지 않는다면, 그 값보다 금액이 작은 경우에도 교환을 하려하지 않을 것이다. 거꾸로, 어떤 금액에서 둘 다 교환 하기를 희망할 경우, 봉투의 금액이 그 값보다 클 경우에도 항상 교환을 원 해야 한다. 따라서, 적어도 한가지 이상의 금액에 대해 교환의 역설이 성립 하기 위해서는 다음과 같은 식을 만족해야한다. {{{{exist `N``~s`.`t`.~ FORALL ~n`>=`N,~E`(``Y`|`X`=`2^n `) `>=` 2^n` }} }} {{{{P_n `==` Pr`[ min (X,Y) = 2^n ]~ }} }}라 할 때, 위의 조건을 만족하는 확률분포가 설정되기 위해서는 {{{{E``(`Y``|`` X= 2^n )~=~ 2^n+1 times { P_n } over { P_n + P_n-1 } + 2^n-1 times { P_n-1 } over { P_n + P_n-1 } }} }} {{{{= ~ 2^n-1 times {4P_n + P_n-1 } over {P_n + P_n-1 } ``>=`` 2^n`` }} }} {{{{4P_n + P_n-1 >= 2( P_n + P_n-1 ) }} }} {{{{THEREFORE~ P_n >= 1over 2 P_n-1 ``,~~~FORALL ~n`>=`N`` }} }} 이어야 함을 알 수 있다. 따라서, 봉투 금액의 사전적 확률분포가 위의 식 을 만족할 경우, 잘 정의된 확률분포하에서도 교환의 역설이 발생하게 된 셈 이다.{{. 봉투에 들어갈 수 있는 가능한 금액이 {{{{..., 1OVER16 , 1over8 , 1over4 , 1over2 , 1, 2, 4, 8, 16 ,... }} }}와 같은 경우 에도 다음과 같이 확률을 배정함으로써, 비슷한 방법으로 이후의 논의와 거의 동일한 결과 를 얻을 수 있다. {{{{P_0 ``==`` P`[` min `(`X`,`Y`)` =` 1` ]` }} }} {{{{P_2n `=` [` min` (`X`,`Y`)` =` 2^n `]`` }} }} {{{{P_2n-1 `=` [` min` (`X`,`Y`)` =` left( 1over 2 right) ^n `],~~~n=1,2,3,... }} }} }} 2.4. 잘 정의된 사전적 기대효용에 대한 논의 이에 대한 한 가지 설명은, 이러한 경우에 확률분포는 잘 정의되나, 사전 적 기대효용은 잘 정의되지 않는다는 것이다. 위험중립적 기대효용을 가정할 때, 봉투 교환에 대한 사전적 기대효용은 {{{{E(`U`(`Y`)`)`= E`(`Y`)` }} }} {{{{=~ SUM FROM n=0 to inf 2^n times P`[ ``Y`=` 2^n ``]`` }} }} {{{{= 1 times 1over2 P_0 + SUM FROM n=1 to inf 2^n times left( 1over2 P_n + 1over2 P_n-1 right) }} }} 이고, 이때, {{{{exist`` N~~s`.`t`.`~FORALL ``n``>=``N,~ P_n ``>=`` 1OVER2 P_n-1 `` }} }}이라면, 즉, 교환의 역설 이 발생하는 경우라면, 충분히 큰 n에 대하여 {{{{{2^n+1 times left( 1over2 P_n+1 + 1over2 P_n right)} over{2^n times left( 1over2 P_n + 1over2 P_n-1 right)} = {2 times left( P_n+1 + P_n right)} over{ left( P_n + P_n-1 right)} >= {left( P_n + P_n-1 right)} over{ left( P_n + P_n-1 right)} >= 1 }} }} 이므로, 이러한 경우 {{{{E`(`U`(`Y`)`)`` =`` INF `` }} }}임을 알 수 있다. 즉, 교환의 역설 이 발생할 경우, 교환의 사전적 기대효용이 수렴하지 않음을 알 수 있다. 이 러한 상황은 그 유명한 성 피터스버그의 역설에서의 경우와 동일하다. 즉, 확률 분포는 적절하나, 기대효용은 그렇지 못하다. 양쪽이 항상 교환을 원할 경우, 기대효용이 위험 중립적인가에 관계 없이, 기대효용이 적절히 정의될 수 없음을 다음과 같이 보일 수 있다. 봉투 금액을 작은 것이 {{{{rm x_i }} }}일 적절한 확률 {{{{rm P_i }} }}가 존재한다면, (1) {{{{rm ∀i , {P_i-1 U(x_{i-1}) + P_i+1 U(x_{i+1})} OVER {P_i-1 + P_i+1} > U(x_{i}) }} }} 을 만족함으로써 교환의 역설이 발생한다. 이러한 경우, (2){{{{rm E[U] = {SUM FROM i=0 TO ∽ P_{i}U(x_{i})} }} }} {{{{=rm 1OVER 2 BIGG [ SUM FROM i=1 TO ∽ [P_{i-1}U(x_{i-1}) + P_i+1 U(x_{i+1})] + P_0 U(x_{0}) + P_1 U(x_{1}) BIGG] }} }} {{{{≥rm 1OVER 2 BIGG [ SUM FROM i=1 TO ∽ [(P_{i-1}+P_{i+1})U(x_{i})] + P_0 U(x_{0}) + P_1 U(x_{1}) BIGG] }} }} {{{{=rm E[U] + 1OVER 2 BIGG [ SUM FROM i=1 TO ∽ [(P_{i-1}-P_{i})U(x_{i}) +(P_{i+1}-P_{i})U(x_{i})] }} }} {{{{rm +P_{1} U(x_{1})-P_{0}U(x_{0}) }} }} {{{{=rm E[U] + 1OVER 2 BIGG[ SUM FROM i=1 TO ∽ [(P_{i-1}(U(x_{i})-U(x_i-1})) +P_{i+1}(U(x_{i+1})-U(x_{i}))] BIGG] }} }} {{{{=rm E[U] + 1OVER 2 BIGG[ SUM FROM i=1 TO ∽ (P_{i-1}-P_{i})(U(x_{i})-U(x_{i-1})) +P_{0}(U(x_{1})-U(x_{0})) BIGG] }} }} {{{{＞rm E[U] }} }} 로 모순이 된다. 거꾸로, 잘 정의된 사전적 기대효용하에서는 이러한 모순 이 발생하지 않을 것이므로, 교환의 역설은 잘 정의되지 않는 사전적 기대효 용을 바탕으로 성립하고 있다고 볼 수 있다. 잘 정의된 기대효용함수에 대해 우리는 원점에 대해 오목하고, 그 값이 유계일 것을 요구한다. 따라서, 기대 값이 유계가 아닌 경우에 발생한 이 역설은 분명히 사전적 기대효용에 문제 가 있는 셈이다. 그러나, 역설에서의 문제는 사후적으로 봉투를 개봉한 후 그 금액에 상관 없이 교환하고자 하는가, 즉, 사후적인 조건부 기대값이 왜 항상 자신이 받 은 봉투의 금액보다 큰가이다. Nalebuff에 따르면, 역설에서의 문제는 사후적 기대값이지 사전적 기대값이 아니며, 우리는 사전적 기대효용이 잘 정의되어 있다고 보장할 수 있는 아무런 근거도 가지고 있지 않다는 것이다. 즉, 위와 같은 주장은 관점을 사후적 기대값에서 사전적 기대값으로 이동시킴으로써 성립한 것이라는 것이다. 이와 관련하여, 만일 그들이 봉투를 연 후에 그 금액에 상관없이 교환을 바란다면, 그들은 봉투를 열기 전에도 교환을 희망해야 한다는 논리를 펼 수 도 있다. 그러나, 이것은 그들이 common knowledge, 즉 공통의 사전적 정보 에 따른 예측에 근거하여 봉투를 교환한다는 것을 의미한다. 만약, common knowledge가 잘 정의된 기대효용함수를 의미한다면, 두 사람이 예측하는 것 이 동일하므로, 교환은 일어나지 않는다. 거꾸로, 교환이 일어났다는 것은 두 사람의 common knowledge가 잘 정의된 기대효용함수를 함의할 수 없음을 뜻한다. 앞의 주장의 트릭은, 관점을 사후적인 입장에서 사전적인 입장으로 바꾼 것이며, 또한 우리는 그들의 기대효용함수가 잘 정의되어 있다고 보장 할 수 있는 아무런 근거도 없다는 것이다. 3. 사전적 기대값과 사후적 기대값의 관계 그렇다면, 사전적 기대값과 사후적 기대값이 실제로 위에서 언급한 것 처 럼 분리되어 고찰될 수 있는 것인가? 그리고, 유계인 사전적 기대효용함수를 전제할 경우 위의 역설이 해결될 수 있는가? 사실, 이 역설이 단지 유계가 아닌 기대효용함수를 허용하기 때문에 발생하는 것은 아니다. 문제를 다시한 번 고찰해 보자. 각 참가자가 교환으로 부터 얻는 기대 수익자체를 고려하기 위해서는 상대방이 받은 금액 Y에 대한 기대값이 아닌 Y-X의 기대값을 대상 으로 하는 것이 더 타당할 것이다. 이 때 X는 물론, 교환에 대한 기회비용의 의미로 해석하는 것이 타당하겠지만, 이 거래 시스템에서 각 참가자가 봉투 를 받은 후 받은만큼의 액수를 제3의 분배자에게 되돌려 준 후 교환을 고려 하게되는 조금 이상한 시스템으로 문제를 재구성해도 상관없을 것이다. 게다 가 이러한 시스템하에서는 분배자의 예산제약을 이용한 문제해결이 불가능 하게 됨을 알 수 있으므로, 교환의 역설 문제의 본질을 더 명확히 할 수 있 을 것 같다. 첫번째 참가자가 교환할 때 생기는 수익은 Y - X 이므로, 앞의 논의에 따라 식을 전개하면, {{{{E ( Y - X ) ``=``SUM from n=0 to inf 1over2 P_n `(` 2^n `-` 2^n `) ``=`` 0 }} }} 으로 생각할 수 있다. 이 경우에도 교환이 일어날 수 있는 조건은 {{{{exist N ~~s.t.~~ FORALL n``>``N , ~E`(`Y-X ~|~X=2^n ``)``>=``0 }} }} 이고, 이러한 조건을 만족하는 {{{{\{ ~P_n~ \}~ }} }}은 앞에서와 마찬가지로 {{{{E``(`Y`-`X``|`` X= 2^n )~=~ 2^n times { P_n } over { P_n + P_n-1 } - 2^n-1 times { P_n-1 } over { P_n + P_n-1 } }} }} {{{{= ~ 2^n-1 times {2P_n - P_n-1 } over {P_n + P_n-1 } ``>=``0 `` }} }} {{{{2P_n - P_n-1 ``>=`` 0` }} }} {{{{THEREFORE~ P_n >= 1over 2 P_n-1 ``,~~~FORALL ~n`>=`N`` }} }} 따라서, 교환이 일어날 조건은 앞에서와 마찬가지로, {{{{P_n `>=` 1over2 P_n-1 ~,FORALL `n`>`N`` }} }} 이다. 이로부터 알 수 있듯이, 유계인 기대효용함수에 대해서도 역설이 발생할 수 있는 것으로 볼 수도 있다. 즉, 이러한 교환의 역설을 해결하기 위해 유 계인 사전적 기대효용함수를 도입한다고 해도, 여전히 역설이 발생할 수 있 도록 문제를 재구성하는 것이 가능한 것이다. 그러나, 이 경우 역설이 발생 할 확률분포의 조건하에서 Y - X의 절대값의 기대값은 수렴하지 않는다. 즉, 앞에서 {{{{E ( ``|`Y``-``X`|`` ) `=` SUM from i=0 to inf P_n ``2^n }} }} {{{{{P_n+1 `2^n+1} over {P_n `2^n } = {2`P_n+1} over {P_n} ``>= ``1 , ~~FORALL `n`>`N . }} }} {{{{THEREFORE ~E `( ``|`Y``-``X`|`` ) `=` INF. }} }} 이와 같이, 기대값이 절대수렴하지 않는 경우, 문제는 기대값 자체가 잘 정의되지 않는다는 데 있다. 실제 예를 들어 보자. 앞에서와 같이 {{{{P_n = 1over3 bigg( {2over3 bigg) }^n , ~n = 0,1,2,... }} }} 라 하자. 이 때, {{{{E ( Y - X ) ``=``SUM from n=0 to inf 1over2 P_n `(` 2^n `-` 2^n `) ``=`` 0 }} }} {{{{= 1over6 ( 1 - 1) + 1over6 2over3 ( 2 - 2 ) +{ 1over6 bigg( 2over3 bigg) }^2 ( 4 - 4 )+{ 1over6 bigg( 2over3 bigg) }^3 ( 8 - 8 ) }} }} {{{{+{ 1over6 bigg( 2over3 bigg) }^4 ( 16 - 16 ) + ... }} }} {{{{= 1over6 - 1over6 + 1over6 4over3 - 1over6 4over3 +{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^2 -{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^2 +{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^3 - { 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^3 }} }} {{{{+ {1over6 bigg( 4over3 bigg) } ^4 - { 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^4 + ... }} }} {{{{= 1over6 +bigg(- 1over6 + 1over6 4over3 bigg) + bigg( - 1over6 4over3 +{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^2 bigg) +bigg(-{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^2 +{ 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^3 bigg) }} }} {{{{{ + LEFT( - 1over6 bigg( 4over3 bigg) }^3 + {1over6 bigg( 4over3 bigg) } ^4 bigg) +... }} }} {{{{= 1over6 + 1over18 +{ 1over18 bigg( 4over3 bigg) } +{ 1over18 bigg( 4over3 bigg) }^2 +{ 1over18 bigg( 4over3 bigg) }^3 + ... }} }} {{{{= INF. }} }} 로 모순이 생긴다. 이와 같은 모순적인 결과는, 물론, 수렴하지 않는 수열을 다르게 결합하였 기 때문에 생긴 결과이다. 그러나, 새로운 결합이 의미없는 조작에 불과한 것은 아니다. 마지막 수식의 각 항들을 잘 살펴보자. 이는 첫번째 참가자의 교환에서의 수익에 대한 사후적 기대값의 기대값과 동일함을 알 수 있다. 즉, {{{{E `(E`(`Y`-`X`` |`` X`)`) `&=` sum from n=0 to inf E`(`Y`-`X ``|`` X`=`2^n `)` P`(` X=2^n `) }} }} {{{{=` 1times 1over2 P_0 +sum from n=1 to inf {2^n 1over2 P_n - 2^n-1 1OVER2 P_n-1 } over {1over2 P_n + 1over2 P_n-1} bigg( 1OVER2 P_n + 1over2 P_n-1 bigg) }} }} {{{{=`1times 1over2 P_0 +sum from n=1 to inf bigg( 2^n 1over2 P_n - 2^n-1 1OVER2 P_n-1 bigg) }} }} {{{{=` 1over6 + sum from n=1 to inf { 1over18 bigg( 4over3 bigg)} ^n-1 . }} }} 로 위의 식과 동일함을 알 수 있다. 이러한 상황에서 조건부 기대효용이 합리적 판단의 근거가 될 수 있는가? 우선, 사전적 기대효용이 절대수렴하지 않는 경우, 조건부 기대효용이 정의 될 수 있는지부터 의심스럽다. 대부분의 확률 이론은 조건부 기대값을 정의 할 때, 사전적 기대값이 절대수렴할 것을 전재한다. 설사, 위와 같은 형태로 조건부 기대값이 결정된다고 해도, 조건부 기대값이 일반적으로 갖는 바람직 한 성질을 갖지 못한다. 우선, 위의 수식으로부터 확인할 수 있듯이 {{{{E (Y-X ) ~not = ~E`(`E`(`Y`-`X``|``X`)`)`` }} }} 이다. 게다가, 이러한 조건부 기대값은 사후적 으로 주어진 정보량하에서의, 즉 봉투를 열어 자신이 받은 금액을 확인한 후 의, 최량의 예측량 ( least-squere best predictor )이 아닐 수 있다. 최량의 예 측량이라는 것은 주어진 정보량하에서 임의의 확률변수(X) 에 대한 예측량(P) 이 다른 임의의 X에 대한 예측량들에 비교해서 {{{{E`(`` |`` X` -` P ``| ^2 ``)`` }} }} 를 최소화하 는 예측량임을 뜻한다. {{{{E``(`` |`` X`` | ^2 ``)``< ``inf`` }} }}인 경우, 이러한 조건을 만족하는 예 측량은 조건부 기대값인 것으로 알려져 있다. 그러나, 위의 역설이 발생하는 확률분포하에서 각 참가자들이 예측하려고 하는 확률 변수{{{{`Y`-`X` ` }} }}가 {{{{`E``(``|``Y`-`X``|``)`` =`` inf`` }} }}이므로, 이러한 경우에 조건부 기대값은 위에서 언급한 최량의 예측량이라는 성격을 상실할 수 있는 것이다. 역설이 발생하는 확률 분포 하에서 {{{{E`(`` |`` Y`-`X``-`` E``(``Y`-`X``|``X``)``|^2 ``)`` }} }}의 값을 구해보면, {{{{| `Y - X `-` E`(`Y-X` |` X=2^n `)` |^2 = }} }}{{{{left( 2^n - 2^n-1 times {2P_n - P_n-1 }over {P_n + P_n-1} right) ^2 ~~~with~ 1over2 P_n ~...(1) }} }} {{{{left(2^n-1 - 2^n-1 times {2P_n - P_n-1 }over {P_n + P_n-1} right) ^2 ~with ~1over2 P_n-1 ~...(2) }} }} {{{{(1) ~=~ left( 2^n-1 times {3P_n-1}over{P_n + P_n-1 } right)^2 }} }} {{{{=~2^2n-2 times {9P_n-1 `^2 }over {(P_n + P_n-1 )^2 } }} }} {{{{(2) ~=~ left( 2^n-1 times {3P_n }over{P_n + P_n-1 } right)^2 }} }} {{{{=~2^2n-2 times {9P_n `^2 }over {(P_n + P_n-1 )^2 } }} }} {{{{(1)times 1over2 P_n + (2)times 1over2 P_n-1 ~=~ 1over2 times 2^2n-2 times {9P_nP_n-1 (P_n + P_n-1 )} over {(P_n + P_n-1 )^2 } }} }} {{{{=~ 9 times2^2n-3 times {P_n P_n-1 } over {P_n + P_n-1 } }} }} {{{{E`(`` |`` Y`-`X``-`` E``(``Y`-`X``|``X``)``|^2 ``)``= 0times 1over2 P_0 +SUM from n=1 to inf left( (1)times 1over2 P_n + (2)times 1over2 P_n-1 right) }} }} {{{{=~SUM fromn=1 to inf 9times2^2n-3 times {P_n P_n-1} over {P_n + P_n-1 } }} }} 이다. 이 무한급수의 각 항을 {{{{a_n`` }} }}이라 하면, 앞에서와 같이 {{{{P_n ` >= ` 1over2 P_n-1 `` }} }},{{{{FORALL ``n `>= `N`` }} }}일 때, {{{{a_n+1 over a_n = {9times 2^2n-1 times {P_n+1 P_n }over {P_n+1 + P_n } } over {9times 2^2n-3 times {P_n P_n-1 }over {P_n + P_n-1 } } = 4 times P_n+1 OVER P_n-1 times {P_n + P_n-1 } over {P_n+1 + P_n } }} }} {{{{>= ~ { P_n + P_n-1 } over { P_n+1 + P_n } ~>= ~1 }} }} {{{{therefore~ E``(``| `Y`-`X `-` E`(`Y`-`X``|`` X``)``| ^2 `)~ =~ INF . }} }} 위 수식이 의미하는 바는 무엇인가? 위와 같은 경우에는 주어진 정보량 하에서의 조건부 기대값이, 예를 들어, 중위수( median )나 0과 같은 가능한 Y - X에 대한 다른 예측량보다 우월하다고 할 수 없다. 즉, 조건부 기대값을 바탕으로한 예측이 다른 예측량을 사용한 것보다 더 합리적이라고 말할 근 거가 사라진 셈이다. 이러한 조건부 기대값이 합리적 판단의 근거가 될 수 있다고 보기는 어려우므로, 위와 같이 역설이 발생하는 조건하에서도 두 참 가자가 모두 0보다 큰 조건부 기대값에 근거하여 교환을 원한다고 볼 수 없 다. 결국, 사전적 기대효용과 사후적 기대효용은 분리되어 다루어질 수 있는 것이 아니며, 사전적 기대효용이 잘 정의되지 않는 경우 사후적 기대효용 역 시 그 의미를 상실할 수 있는 것이다. 4. 결론 지금까지 봉투교환의 역설이 발생할 경우, 그러한 역설의 근거가 되는 사 후적 기대값이 합리적 판단의 근거로서의 자격을 상실하게 됨을 보았다. 사 실, 사전적 기대효용이 잘 정의되기 위해서 그 값이 절대수렴할 것을 요구하 는 것은 분명 사전적 기대효용이 유계일 것을 요구하는 것보다 더 강한 조 건이다. 혹자는 이러한 조건이 이 역설을 피해가기 위해 억지로 도입된 것으 로 간주할 지 모른다. 그러나, 기대효용의 극대화라는 가정 자체가 명백히 경제주체의 합리성을 기반으로 한 것이기에, 기대값 자체가 불확실한 상황에 서의 올바른 예측이 될 수 없을 때, 기대값을 기초로 한 합리적 판단이라는 개념은 그 의미를 상실할 것이다. 이 역설이 보여주는 것이 바로 이러한 상 황이 아닐까? 참고문헌 Geanakoplos, John, and Sebenius, J.K. (1983), "Don't Bet On It: Contingent Agreements With Asymmetric Information", Journal of American Statistical Association June Vol.78. p424 - 426 Nalebuff, Barry.() Journal of Economic Perspectives Samuelson, P.A. () "St. Petersburg Paradoxes: Defanged, Dissected, and Historically Described", Journal of Economic Literature Williams, David. (1991), Probability with Martingales. Cambridge University Press. |