| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) <math1.kaist.ac.> 날 짜 (Date): 1998년 8월 10일 월요일 오전 05시 50분 14초 제 목(Title): Re: [문제] 직선들의 모임 흠, 역시 제 공간지각력이 나빠서...생각했던 것과는 좀 다르군요. 일반성을 잃지 않고 E={e_0,e_1,e_2,e_3}으로 놓을 수 있습니다. 여기서 e_0=(0,0,0), e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). 그러면, 임의의 실수 r,s,t에 대해 점 (r,0,0)과 점 (0,s,1-s)는 L(E)에 속합니다. 따라서 (1-t)(r,0,0)+t(0,s,1-s)= (r(1-t),ts,t(1-s))는 L(L(E))에 속합니다. 이제 어떤 점 (x,y,z)가 이러한 형태로 표현될 수 있는지 봅시다. (x,y,z)=(r(1-t),ts,t(1-s))로 놓으면, y+z = t, s=y/t=y/(y+z), r=x/(1-t)=x/(1-(y+z)). 따라서 y+z가 0도 아니고 1도 아닌 경우에는 r,s,t를 위에서처럼 적절히 고를 수 있습니다. x,y,z의 역할을 바꾸면, x+y, z+x에 대해서도 같은 이야기를 할 수 있습니다. 따라서 대부분의 점들은 L(L(E))로 표현될 수 있고, 예외가 되는 경우는 x+y, y+z, z+x가 모두 0 또는 1인 경우입니다. 이때 2(x+y+z)는 0,1,2,3중 하나이고, 따라서 x+y+z가 유한개가 되니까 결국 이러한 점은 유한개입니다. 그중에서 자명하게 L(L(E))에 들어가는 것을 빼면 남는 것은 (1/2,1/2,1/2)와 (-1/2,1/2,1/2), (1/2,-1/2,1/2), (1/2,1/2,-1/2)의 네 점이 있습니다. 이 점들을 e_0,...,e_4에 '평등한' 아핀 좌표로 쓰면 이 네 점은 대칭적이 됩니다: -1/2e_0+1/2e_1+1/2e_2+1/2e_3, 1/2e_0-1/2e_1+1/2e_2+1/2e_3, 1/2e_0+1/2e_1-1/2e_2+1/2e_3, 1/2e_0+1/2e_1+1/2e_2-1/2e_3. 즉, 계수는 1/2인데 매 경우마다 한 좌표의 부호가 뒤집어져 있는 점들. 이 네 개의 점조차 L(L(E))에 들어갈 수 있을까요? 없다는 것에 한 표. ;) |