| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): whiz (quiz) 날 짜 (Date): 1998년 5월 27일 수요일 오전 10시 16분 38초 제 목(Title): 완전수의 정의 어떤 수 n이 완전수라는 것은 n의 약수 중에서 n자신을 제외한 수의 합이 n이 된다는 뜻입니다. 6은 약수 1,2,3,6 을 갖는데, 6 자신을 제외하고 더하면 1+2+3 = 6이 되므로, 6은 완전수입니다. 동치인 명제로는, n의 약수의 역수의 합이 2이다 는 것이 있지요. 예를 들어, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 이죠. 6 다음의 완전수로는 28, 496, 8128, ... 이 있는데, 각각을 인수분해하면 6 = 2 * (4-1) 28 = 4 * (8-1) 496 = 16 * (32-1) 8128 = 64 * (128-1) ... 이 됩니다. 8*(16-1), 32*(64-1) 등이 빠져있죠? 유클리드는 그의 원론(Elements) 9장에서 n = 2^p-1 * (2^p - 1) 이 2^p - 1 이 소수이면 - 이런 꼴의 소수를 메르센느 소수라고 부르죠 - 완전수임을 증명했습니다. 이 증명은, 그야말로 등비급수를 구하는 초보적인 증명입니다. 물론 이 수들은 여러가지 재미난(?) 성질들을 갖고 있습니다. 모든 짝수인 완전수는 16, 28, 36, 56, 76 중의 어느 하나로 끝이 나야하고 (6은 당연히 제외) 각 자리수의 합을 계속 더해 나가면 1이 되어야 합니다 (역시 6은 예외) 예를 들어, 8128 ==> 8+1+2+8=19 ==> 1+9=10 ==> 1+0=1 이 된다는 것입니다. 더 많은 사실들이 있지만, 단순히 유희에 해당하는 경우가 많습니다. 수학적으로 크게 중요하지는 않는 것들이 대부분이지요. 어쨌든, 이러한 꼴이 짝수인 완전수를 모두 커버한다고 Euler가 증명했다고 합니다. 지금(1992년)까지 10^300 까지의 숫자의 범위 내에서는 홀수인 완전수가 발견되지 않았습니다. - pomp 님의 숫자 2^2^14 + 1 는 아직 체크가 안 된셈? ^^; 농담입니다. 쩝 - 물론 conjecture는 홀수인 완전수가 없다는 것이고요. 짝수인 완전수는 '현재까지는' 메르센느 소수를 찾는 것에 귀결이 되지요. 메르센느 소수는 물론 컴퓨터 성능 테스트용으로 쓰이고 있고, 현재까지 발견된 가장 큰 소수들이 이 꼴로 생겼죠. 큰 소수를 찾는 것은 RSA 공개키 암호체계에서 중요한 일이란 것은 이미 알려진 사실이고요. 그리고 페르마의 정리에 관하여. Xorn님이 말한대로, Andrew Weils 가 증명을 한 것으로 인정하고 있습니다. 저같은 사람이야 그 논문을 이해할 능력이 되질 않으니까. 일년에 두 번 발행하는 Annals of Mathematics가 이례적으로 96년인가 아님 97년인가에 세 번 발행을 하면서, 그의 논문을 실어주었습니다. 제가 알기로는 그의 나이가 40이 넘는 걸로 알고 있으며, 따라서 Fields medal은 받을 수 없는 것으로 압니다. 맞나? 쩝. <== 이거 내가 언론을 닮아가는 것 아닌감? 첨가로 더. Fields는 사람의 이름으로, 대문자로 써야 하고, 끝에 s가 붙습니다. field가 아닙니다. <== 예전에 이러다가 pomp 에게 혼났음. -- Life is a pineapple. |