| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) 날 짜 (Date): 1998년01월06일(화) 15시16분51초 ROK 제 목(Title): Re: [문제] 가장 큰 정사각형 대충 증명이 될 것 같은데요. 디테일을 메우는 것은 귀찮겠지만 구라를 적절히 섞은 증명의 아이디어의 스케치 정도는 만들 수 있을 것 같습니다: 덮일 수 있는 정사각형의 최대 길이를 a라고 합시다. 이제 이 정사각형의 꼭지점을 ABCD라고 하죠. 변 AC가 위에, 변 BD가 그 밑에 있습니다. B는 A밑에, D는 C밑에요. 이미 a는 1.27... 이상이고 sqrt(2)=1.414...미만임을 보였죠. 이제 그 위에 세 개의 덮개가 둥둥 떠다니는 모습을 상상하시면 되겠습니다. 일단 모든 덮개가 선분 AC에 걸치는 사태는 벌어질 수 없습니다. 왜냐하면, 선분 AC에 걸치는 덮개는 선분 BD를 기껏해야 2*(sqrt(2)-a)의 길이만큼밖에는 덮을 수 없기 때문입니다. 3*2*(sqrt(2)-a) < 3*2*0.15 < a이므로 BD를 다 덮기 위해서는 덮개 중 하나는 AC에 걸치지 말아야 합니다. 결국, 한 변은 한 개 또는 두 개의 덮개에 의해 덮인다는 것을 알 수 있습니다. 변은 4개고 덮개는 3개이므로, 최소한 한 변은 한개의 덮개에 의해 완전히 덮여버릴 수 없습니다. 이 변을 일반성을 잃지 않고 AC라고 합시다. 그러니까, 변 AC는 두 개의 덮개에 의해 덮이고, 각각의 덮개가 AC를 a미만의 양수 길이만큼 덮습니다. 제 삼의 덮개가 만일 꼭지점 B와 D를 동시에 덮어야 한다고 가정합시다. (예를 들어 꼭지점 B와 D가 나머지 두 개의 덮개에 의해 덮이지 않고 노출되어 있다면 반드시 그래야 겠죠? 그런 경우 이 제 삼의 덮개는 변 AB와 CD를 덮는 데는 많이 동원되기 어렵습니다. 제 삼의 덮개의 한 쪽 꼭지점을 예를 들어 B에 붙이고 가능한한 최대로 CD를 많이 덮는다면, 기껏해야 a(1-sqrt(a^2-1))만큼의 길이를 덮을 수 있습니다. 이런 경우에는 아마도 거기까지 내리기 위해서는 AC를 덮고 있는 두 개의 덮개 중 최소한 하나는 AB나 CD를 거의 다 덮어야 할 것입니다. (극한 과정에서 B나 D에 살짝 닿으면서 AB나 CD를 다 덮어야 하겠죠) 예를 들어 AB가 다 덮인다면, 이제 CD쪽을 최대한 많이 덮어서 BD를 덮는 제 삼의 덮개의 수고를 최대한 덜어주려면, AB를 덮었던 덮개는 최대한 AC를 많이 덮도록 노력하고, 꼭지점 C를 덮는데 동원된 덮개는 각 C위에 덮개의 직각 중 하나가 겹쳐지게 해야만 최대한 CD를 많이 덮을 수 있을 것입니다. 이때는 제일 잘 하는 방법은 앞에서처럼 황금비가 나오는 경우이죠. 다른 가능한, 궁극적으로 같은 형태에 도달하는 변형이 하나 더 있는데 그 경우도 같은 방법으로 처리됩니다. 아마도 이런 식으로, '정성적인' 명제를먼저 증명하고 (예를 들어 위에서처럼 변 AC는 정확히 두 개의 덮개에 의해 덮이고' 등등), 그렇게 해서 덮개들이 변형되는 매개변수를 좁혀서 '정성적인' 형태를 고정시킨 후, 그 범위 안에서 국소적인 변형을 만들어 '정량적인' 부등식을 유도하는 식으로 해서 어떻게 되지 않을까요? 물론, 이렇게만 해 놓은 상태는 증명이 아니라 그냥 구라입니다만, 접근 방식으로서는 충분할 것 같습니다. :) ------- 이런 방식으로 풀기 시작했는데 어렵군요. 연립부등식이 나오기는 합니다만 황당하게 복잡해져서... 목표는 그 연립부등식으로부터 a^4-a^2-1<=0을 유도하는 건데 도무지 손을 댈 수가 없네요... :-< |