| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) 날 짜 (Date): 1997년07월31일(목) 02시35분27초 KDT 제 목(Title): [답] 두 퍼즐리스트 again... 계속 밀고 나가봅시다. 두 수를 a,b, 곱을 p, 합을 s라고 합시다. 처음에 P가 모른다고 말하는 것은 p가 최소한 3개 이상의 솟수의 곱이고, 또한 그 세개의 솟수가 모두 같지는 않다는 뜻입니다. 다음에 S가 모른다고 말하는 것은 s가 8 이상이라는 뜻입니다. 이번에도 P가 몰랐다고 합시다. 그러면 곱이 p이면서 합이 8 이상인 서로 다른 두 개의 자연수 쌍 {a,b}, {a',b'}이 있다는 말이 됩니다. 그러기 위해서는 p는 16 이상이어야 합니다. (12까지는 이미 살펴보았고, 13은 솟수, 14,15는 두 솟수의 곱.) 근데, 만약 p가 16 이상이고 q,r이 p를 나누는 서로 다른 솟수라고 한다면(p가 솟수가 아니라니 관습이 흔들리는군요), q + p/q >= 2*sqrt(q*(p/q)) = 2*sqrt(p) >= 2*4 = 8. 마찬가지로 r + p/r도 8 이상. 만일 이 {q,p/q}, {r,p/r}이 같다면 q는 r이 아니니까 q=p/r인데 이때 p=qr이므로 모순. 따라서 이번에 P가 몰랐다는 것은 이미 드러낸 정보에 덧붙여, p가 16 이상이라는 것을 추가한 것입니다. 역시 더도 아니고 덜도 아닌. 이번에도 S가 몰랐다고 합시다. 그러려면 합은 s인데 곱은 16 이상인 서로 다른 두 자연수 쌍 {a,b}, {a',b'}이 있어서, 각각의 쌍 중에서 최소한 하나는 합성수여야 합니다. s=8일 때는 그런 쌍이 없습니다. s=9,s=10일 때는 그런 것이 있음을 쉽게 확인할 수 있습니다. s가 11 이상이면, s=4+(s-4)=6+(s-6)으로 최소 두 가지 방법으로 분해되고, 4(s-4)>=4(11-4)=28, 6(s-6)>=6(11-6)=30이므로 이 조건을 만족합니다. 그러니까 이번에 S가 몰랐다는 것은 정확히 s가 9 이상이라는 뜻이 됩니다. 심지어 이번에도 P가 몰랐다고 합시다. 그런데, 위의 계산에서 q + p/q >= 2*sqrt(q*(p/q))어쩌고 해서 그것이 8 이상이라는 결론을 도출할 때, 등호가 성립하기 위해서는 아시다시피 q=p/q -> p=q^2이어야 합니다. 이럴 수가 없으므로 항상 q+p/q는 9 이상입니다. r+p/r도 역시 9 이상이고요. 그러니 이제 P가 이번에조차 몰랐다면 P는 더 이상 새로운 정보를 제시하지 않는 것이고, 그래서야 S가 알 수 없습니다. 그러면 결국 아무도 알 수가 없지요. 따라서 두 사람 다 숫자를 알게 되었다면 이번에 P는 두 숫자를 알았어야 합니다. 그러니 s가 9 이상이라는 정보가 P의 애매함을 해소해야 하고, 따라서 곱이 p이며 여태까지의 조건을 모두 만족하는 해가 최소한 두 개 있지만, 그중 오직 하나만 합이 9 이상이고 나머지는 모두 합이 8 이하여야 합니다. 합이 8이하인 가짜 해 {c,d}를 고르면, 64>=(c+d)^2>=4*cd=4p, 따라서 p는 16 이하입니다. 아까 p는 16 이상이라는 것을 알았으니까, p는 16이었죠. 이때 {2,8}, {4,4}의 두 가지 가능성이 있는데, 합이 9 이상인 것인 {2,8}이 답입니다. S도 여기까지의 논리를 같이 따라오니까 답을 맞출 수 있습니다. 결국, P와 S는 모른다는 말을 서로 두 번까지 할 수 있으며, 그때 답은 {2,8}입니다. . |