| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): ilusion (환상) 날 짜 (Date): 1996년07월15일(월) 13시59분06초 KDT 제 목(Title): re: 공굴리기 이문제 생각만큼 쉬운문제가 아닙니다! 발켄님의 어프로치가 정확합니다. back tracing을 하지 않고 제지리로 돌아올수있는 유일한방법 (공은 미끄러지지않습니다. ) 은 오직! 직선의 선분으로만 이루어진 polygon뿐이 없습니다. 곡선을 안미끄러지고 공이 굴러갈수 있는 방법은 없습니다. 왜냐구요? 공은 항상 대원을 중심으로 굴러가는데 대원은 항상 평면상에 수직으로 되어있습니다. 그래서 공이 그리는 괴적의 radius of curvature는 항상 무한이 되게 되어있습니다. 문제는 이런 직선을 아주 조그마하게 만들어서 곡선으로 limit을 취해줄수가 있는데 이런 극한의 경우는 제외합니다. 이런경우 fractal path등등을 취할수있고 아주 재미있는 현상이 벌어지긴 하지만. 누군가가 원을 괴적으로 남기고 다시 돌아올수있다고 했는데 틀렸습니다. 제자리에서 미끄러지거나 제자리에서 수직축을 중심으로 회전하기 전에는 그렇게 못합니다. 유한한 스텝으로 제자리에 돌아올려면 반드시 polygonal path 를 취해야 합니다. 하지만 이게 원이 아니고 원추나 실린더인데 위의면과 아래의 면의 radius가 다르다면 당연히 원의 괴적을 그릴수가 있지요. 이 이유는 이 입체의 움직이는 원이 수평면에서 약간 기울어져서 (마치 자전거 바퀴같이) r그럽니다. 다시 요약 정리하면 구가 곡선의 괴적을 그릴수 있는 방법은 정확히 두가지가 있는데 이문제에는 포함이 안됩니다. 1. 연속적인 이동방향변경 (미끄러짐이나 제자리에서 회전없이) 이경우 누군가 말했듯이 원의 귀적을 가지지만 불행하게도 이건 limit process 라고 생각해야합니다. 그래서 위의문제를 엄밀히말하면 line path만을 생각해야한다는 제한이 있어야 겠지요. 그런데 또다시 엄밀히 생각하면 이러한 제한이 없어도 문제자체의 restriction때문에 어떠한 path라는 단서가 붙어도 됩니다. 왜냐구요? 문제는 구를 제자리로 옴겨놓는것뿐만 아니라! 구에 찍힌 한점의 coordinate 조차 맞춰야합니다. 그래서 요 한점을 맞추면서 구를 제자리로 옴겨놓는것은 궁극적으로 말하면 sphere에서 fixed point 를 2개만 (구의 중심과 구에찍힌점) 가지는 그러한 path를 찾는건데 이런 path중에는 걋㎰【� 말한 원의 괴적은 있을수없습니다. 발켄님이 말씀하신 삼각형이나 사각형등의 어프로치는 정확한데 문제는 아무삼각형이나요? 아무 정삼각형이나요? 두개의 fixed point를 만족시키면서 정삼각형의 괴적이 존재할까요? 만약 정삼각형의 괴적이 정말 두개의 fixed point를 만족시킨다면 그 정삼각형의 변의 길이는 구의 반지름의 몇배일까요? 이문제 제가 몇년전까지 unsolved problem이라고 했을때 장난이 아닙니다. 이문제에 대한 variation은 몇개가 있는데 아직 아무도 일반화를 하지는 못했습니다. iLUSiON 환상 �� Department of Mathematics, University of Toronto, Canada chung@math.toronto.edu / Fluid Dynamics, P.D.E., Non-linear System & Dynamics httpd://www.math.toronto.edu/~chung |