| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): ilusion (시체해부) 날 짜 (Date): 1996년01월26일(금) 16시43분15초 KST 제 목(Title): 환상특급! 무한! 1. 무한이란. 무한이란 숫자가 아니다. 이건뭐랄까 어떤상태를 지칭 한 다고나 할까. 무한하다는것도 어떤의미에서는 크기를 비교 할수 있다. 무한 + 1 = 무한. 무한개나 있는데다 뭘더해도 그냥 무한개라고 밖에 말할수 없다. 수학에는 무한보다 더큰개념이 있는데 '절대무한'이 라 불린다. 무한이란 개념은 인간이 만든추상적 사상중 가장 위대하고 심오하며 복잡한 개념이다. 마찬가지로 극소 (infinitestimal)의 개념은 무한에 대칭되는 개념으로 소 위 말하는 제논의 파라독스같은 그리스 철학에서부터 그 근원을 찾을수 있다. 무한은 칸토르의 집합론에 의해 거의 완성되었다고 해도 과언이 아니다. 그래서 무한이란 개념은 대체적으로 그의 아이디어를 따르지만 얼마든지 무한의 개념을 변화 시켜서 새로운 아이디어를 창출할수있다. 무한은 일반적인 집합 R(실수의 집합)에 포함되지 않는다. 소위 무한을 수로 확장시켜서 %1, %2 으로 불러서 연산을 정의 수의 개념을 무한까지 포함하게 확장할수 있다. 한가 지 참조할사실은 절대로 finite process에는 무한이란 개 념이 들어갈 여지가 없다는것이다. 한예로 수학적 증명에 서 가장 기본인 induciton method 는 무한에서는 결코 성 립되지 않는다. 수학자들중에는 induction을 부정하는 수 학자들도 있다. 그래서 아무리 인공지능이 발달해도(artificial intelegence) 무한이란 개념은 결코이해하지 못할것이다. 그럼 어떻게 인간은 무한이란 개념을 이해하는것처럼 말하 는가? 그건 환상자꼐서도 잘모른다. 한가지 확실한 사실은 컴퓨터의 지금의 프로세싱 체계 (finite step by step 폰 노이만 방식) 으로는 무한을 이해할수없다는 사실이다. 아마도 23세기쯤 세로운 컴퓨터설계방시과 이론이 전개되 면 무한을 이해할수 있을지도 모른다. 천체 물리학에서 관 심있는 문제중의 하나는 과연 우주의 별이 유한개인가 무 한개인가 하는것이다. 만약 무한개이면 countable 인가 uncountable 인가 하는것이다. 아직도 소수지만 우주는 무 한하면 우주의 별의수는 카운터블 인피닛이라고 믿는 천체 물리학자들이 있다. 집합에 무한이 포함되지않는다는말은 R = {실수},real number라는 집합이 있다고 할경우 이 R 에는 무한이 결코 들어있지 않는다는 말이다. 무한은 그래서 실수가 아니 다. extended real number system이라는 것이 있는데 이건 실수의 집합에 무한이라는 특이점을 더한것뿐이다. 무한을 특이점으로 보는 이유는 f(x) = 1/x 라는 트렌스 폼으로 무한을 원점으로 대응시킬수 있기때문이다. 수라는것자체가 실수뿐만이 아니라 무리수를 포함시켜 수 의 확장을 시도하듯 무한도 좀더 큰수의 체계속에서 정의 할수 있다. 그럼 무한도 수라고 할수 있게된다. 어떤이는 코끼리를 무한이라 상상할수도있고 별의 수를 무 한이라 할수도 있다. 만약에 인공지능이 발달되어 스스로 의 conciseness(의식)를 가지게 될경우 과연 인간이 만든 무한이란 개념을 이해를 할수 있을까 하는 의문이 생기는 데, 인공지능이 과연 의식을 가지고 있는지에 대한 판별로 써 무한에대한 질문을 할수도 있다. 물론 무한이란 개념은 수학적인 개념과 철학적인 개념으로 나누어지기에 수학적 개념에서의 무한을 한다해서 철학적인 이해를 가지공 있다 고 말할수는 없다. 수를 확장하는데 있어서 실수에 허수를 더해서 set of complex number를 만든다. 마찬가지로 칸토르 이후로 무한 알레프 널(또는 오메가 w), 알레프 원 등등을 하나의 수로 여기는 수의 확장을 시도하게 된다. 그럴경우 무한대의 수, the class of surreal numbers가 생기고 무한^(1/2), 무한 * 무한^(4/5) 등등 연산이 가능하게 된다. 약간 황당한 개념으로 유명한 수학자 콘웨이가 생각한것이 있다. 즉 이우주의 공간이 coutinuous 한가하는 문제인데. 만약 수학의 실수와 같이 densely compact 한가 아니면 유리수의 집합이 실수의 집 합에서 dense한것처럼 그러한가 하는 문제이다. 우주의 공 간이 소위 말하는 Plank length 정도로 또각또각 비연속성 을 보인다면 실수와 같은 연속성을 보이지 않는다. 이건 제노의 paradox(토끼와 거북이)에서 공간을 partition 하 는 문제와 관계가 있다. 마찬가지로 시간의 cardinality (만약 time interval을 쪼개고 계속가능할때까지 쪼갠 집 합의 크기)가 알레프원인지 아니면 이보다 더큰지...또는 쪼개는데 한계가 있는지 하는건 과학철학에 있어 굉장히 중요한 문제. 시간을 무한대로(알레프 널) 쪼갤수있다고 할경우 인간의 인식으론 (정교한 기계를 게측의 도구로 이 용하든 말든) 플랑크 타임이하로는 물리적 의미가 없다. 무한이란 개념은 컴퓨터에도 무척영향을 끼친다. algorithmic information theory가 그 한예( ibm research 가 최초로 개발한 이론). 아무리 인공지능이 발달하더라도 결코 인간같은 수준이 가능하지 않는 이유중의 하나가 무 한을 이해할수있는가 하는것이다. 컴이 과연 pi를 이해할 수있을까? pi= 3.141592......는 절대로 finite process로는 계산이 되지않는다. infinite approximation에 의해서만이 가능하 다. 그러나 컴은 결코 무한 프로세스를 허용하지 않는다. 그럼 어떻게 인간은 pi를 이해한다고 말할수 있는가? 결국 인간역시 무한에대한 개념을 이해할수 없는것인지도 모른 다. 이문제는 소위 말하는 베리의 파라독스(러셀이 개발)와 밀접한 관련이있다. 여기 환상자께서 만든 modified paradox version이있다. Let N be the largest number that a computer can generate in a given finite time T, Then 환상 knows a larger number than N that is N+1 but the computer do not. Therefore, a human can come up with a bigger number than a computer. 하지만 위의 논리는 명백히 잘못되어있다. 시간의 선,후라 는 개념때문이다. 그러나 주어진 시간 T동안 N 이란 가장 큰숫자를 만들수있 다면 알고리듬을 바꿈으로써 주어진 시간 T동안 2N 이란 가장 큰숫자를 만들수 있다. 그럼 다시 알고리듬을 변화시 켜서 주어진 시간 T동안 3N이란 숫자를 만들수 있고 결국 이러한 계속 알고리듬을 변화시키는 엑션은 자연수와 일대 일 대응을 한다. 그러기에 finite process는 자연수와 같 은 카디날리티를 가지게 된다. 으음 그냥 써봤는데 으앙 막 깨지네.. ☆★ He can fall in love with an idea.(Zarathustra 짜라투스트라) ☆★ 환상/ iLUSiON / Department of Mathematics, University of Toronto, Canada 유아독존클럽 회장, 환상연구소 소장, 환상상담실장, 아지 주인,티티파스형 누드사진홈페이지 http://brauer.math.toronto.edu:2000 |