| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): forlove (OutSider) 날 짜 (Date): 1995년10월04일(수) 09시57분10초 KDT 제 목(Title): To:부성이형 -- 1995년문제... 다음글은 과수원비비에서 허락도 없이 마구 퍼온글입니다. 쥔이 누군지 몰라서 허락을 받을수가 없었어요~~ :) 글쓴이: Guest (전 손님이래요...) 날 짜: Sat Jul 22 20:41:38 1995 제 목: 1995년은 재미있는 해?! 인터넷에 올렸던 글이 조금 잘못되었길래 다시 썼던 글입니다. -------------------------------------------------------------- 인터넷에 Reiner Euler라는 독일 사람이, 1995에는 다음과 같은 성질이 있다는 글을 올렸습니다. (1994년 크리스마스에 생각했답니다.^^) 19 | 95 | 1995 , 199 | 995 일반적으로, 네 자리 수 abcd가, ab | cd | abcd , abc | bcd 를 만족하는 경우를 살펴 보면, 자명한 경우를 제외하고 다음의 네 가지가 있습니다. 1248, 1664, 1995, 4998 끝으로 그는 이 네 수가 10000을 나누어 떨어뜨리는 어떤 수에 아주 가깝다는 사실을 지적했습니다. 다시 말해, 각 수가 1250, 1666.66 , 2000, 5000에 가깝습니다. 이제 이것을 일반화하기 위해, 첫번째 조건에서 cd | abcd 를 없애고 생각합시다. 다섯 자리수인 경우, 이런 식의 조건을 생각할 수가 없으니까요. 정의. n 자리 자연수 a_1 a_2 ... a_n 이 모든 k에 대해, 앞에서 세어 k 개의 숫자로 이루어진 수가 뒤에서 세어 k 개의 숫자로 이루어진, 0 아닌 수를 나누어 떨어뜨릴 때, 이 수를 "길이 n인 Reiner 수"라고 한다. 단, n>=4이고 k < n <= 2k 이다. 정의가 약간 복잡한데, 예를 들어 설명하죠 길이 7인 Reiner 수 abcdefg는, abcd | defg, abcde | cdefg, abcdef | bcdefg 의 세 조건을 만족하는 수를 말합니다. 하나의 숫자로만 되어 있는 자명한 경우를 제외하고, 다음 표의 수들이 조건을 만족합니다. 길이 4인 Reiner 수 : 1248, 1664, 1995, 4998 길이 5인 Reiner 수 : 12500, 14284, 16664, 19995, 49998 길이 6인 Reiner 수 : 166664, 199995, 499998 길이 7인 Reiner 수 : 16666664, 1999995, 4999998 예를 들어, 14284의 경우, 142 | 284, 1428 | 4284 가 됩니다. 이제 몇 가지 예상을 할 수 있습니다. (1) 자명하지 않은 Reiner 수는 무한히 많은가? 앞의 표를 보면, 특징적인 수가 몇 개 있습니다. 1664, 1995, 4998이 그것으로, 이 수들을 이용하면 Reiner 수를 무한히 많이 만들 수 있을 뿐 아니라, 어떤 길이의 Reiner 수라도 만들 수 있습니다. 예를 들어, 16...(n개의 6)...64 꼴의 수는 길이 n+4인 Reiner 수가 됩니다. 이렇게 가운데 수를 반복해서 계속 Reiner 수를 만들 수 있을 때, 가장 짧은 꼴을 "패턴 생성(pattern producing) Reiner 수"라고 합시다. (2) 패턴 생성 Reiner 수는 유한한가? 그렇습니다. 실제로 (1)에서 든 세 개의 수가 그 모둡니다. 어떤 Reiner 수가 패턴을 만든다고 하면, 가운데 수를 반복해서, xxxa...aa...axxx 꼴이 되게 할 수 있습니다. 앞 절반과 뒤 절반을 떼어 생각하면, 앞 절반에 1보다 큰 적당한 자연수 b를 곱해서, a가 반복되는 부분이 나와야 합니다. 따라서, ab를 10으로 나눈, 몫과 나머지를 더한 값이 a가 되어야 합니다. 이런 조건을 만족하는 순서쌍들에 대해 조사해 보면, 1664, 4998, 1995의 셋 뿐임을 알 수 있습니다. (이건 괜찮은 수학 퍼즐 수준입니다.) 다음의 네 질문은 아직 풀리지 않은 문제들입니다. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ (3) 패턴 생성이 아닌 Reiner 수는 얼마나 많이 있는가? 1248, 12500, 14284의 셋 밖에는 아직 알려진 것이 없습니다. (4) cd | abcd인가? Reiner Euler는 처음에 "cd | abcd"라는 조건을 더했는데, 표를 보면, 길이 4인 경우, 이 조건이 없어도 똑같은 결과를 얻었습니다. 그렇다면 길이 6인 경우에도 비슷하게 def | abcdef 가 될 것이라고 예상할 수 있습니다. 앞의 표를 참고하면 실제로 이 예상은 성립합니다. 일반적으로, 짝수 길이의 Reiner 수 a_1...a_n a_n+1...a_2n에 대해, a_n+1...a_2n | a_1...a_n a_n+1...a_2n 이다 라는 예상을 할 수 있는데, 이것 역시 미해결입니다. 이것은, 뒤 절반을 앞 절반으로 나눈 값 a_n+1...a_2n / a_1...a_n 이 10의 거듭제곱의 약수인 2, 4, 또는 5라는 것과 동치입니다. (몫이 8이 될 수 없는 것은 어렵지 않게 보일 수 있습니다.) (5) 2k < n일 때도 가능한가? Reiner 수를 정의할 때, k < n <= 2k라고 하였습니다. 그런데 앞의 표를 살펴 보면, 2k < n일 때도, 비록 뒷 부분이 0이 되는 경우는 있지만, 여전히 앞 부분이 뒷 부분을 나누어 떨어뜨립니다. 패턴 생성 Reiner 수로 만든 경우는 당연하지만, 그렇지 않은 경우도 역시 성립합니다. 이것은 단지 우연의 일치일까요? (6) 10의 거듭 제곱을 나누는 수에 가까운가? 길이 4인 경우, Reiner Euler는, 각 수가 10000을 나누어 떨어뜨리는 수들에 가깝다고 했는데, 앞의 표를 참고하면, 길이 7까지 모두 비슷한 주장이 성립합니다. 길이 4인 경우는 "abc | bcd"라는 조건만으로도 그의 주장을 증명할 수 있지만, (쩝... 그런데, 그 증명을 잊어버렸어요...) 일반적인 길이에 대해서는 역시 알려진 바가 없습니다. ----------------- 하나 더 1995 = 1^6 + 5^4 + 37^2 (1부터 7까지 사용해서 만들수 있대요...) 그리구 1*995 = 199*5 도 된다는 군요... |