| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): yonho (Song) 날 짜 (Date): 1995년07월13일(목) 04시42분57초 KDT 제 목(Title): 수식으로 본 거북이 4마리 문제 위의 638번의 거북이 4마리 문제도 직관적으로 잘 이해가 되지 않은 사람은 직접 방정식을 써 보면 금방 풀립니다. 시메트리에 의해서 4마리는 항상 정사각형을 유지하면서 움직이므로 그들의 속도벡터는 항상 직각입니다. 이것을 미방으로 나타내면 -> -> -> -> -> ^ d(RB)/dt = v (RB-RA)/|RB-RA| x Z --- (1) -> -> -> -> -> d(RA)/dt = v (RB-RA)/|RB-RA| --- (2) -> -> ^ 위에서 RA, RB는 거북이 A와 B를 나타내는 위치 벡터이고 Z는 거북이들이 움직 이는 방향에 수직인 단위 벡터, 그리고 x는 외적(vector product)를 나타냄. -> -> (1)-(2) 를 한다음에 (RA-RB)를 내적(scalar product)해 주면 -> -> -> -> -> -> -> -> -> -> 좌변 = (RB-RA)*d(RB-RA)/dt = 1/2 d(|RB-RA|^2)/dt =|RB-RA| d(|RB-RA|)/dt --(3) -> -> -> -> ^ -> -> -> -> -> -> 우변 = (RB-RA)*v[(RB-RA)xZ-(RB-RA)]/|RB-RA| = 0 - v |RB-RA| --(4) 따라서 -> -> -> -> -> -> |RB-RA| d(|RB-RA|)/dt = - v |RB-RA| --- (5) d(|RB-RA|)/dt = -v --- (5') 즉 마지막 식을 말로하자면 거북이 A와 B사이의 거리는 일정한 비율(거북이 B의 속도)로 줄어 들게 됩니다. 따라서 총 걸린 시간은 사각형의 한변의 길이 나누기 속도 하면 됩니다. 만일 n각형에서 n마리의 거북이가 똑같은 짓을 할 때는 위의 식에서 (4)번의 첫째 항이 0이 아닙니다. 왜냐하면 거북이 A의 속도벡터와 A,B를 잇는 위치벡터가 직교하지 않으므로 cos(theta), theta는 내각,를 곱해주면 됩니다. 직접 해 보시길. |