| [ PhilosophyThought ] in KIDS 글 쓴 이(By): parsec (먼 소 류) 날 짜 (Date): 1999년 3월 18일 목요일 오전 12시 23분 20초 제 목(Title): 매직님을 위한 특수상대론 특강 매직님을 위한 특수 상대론 특강. 상대론 아시는 분은 그냥 큐때리고 나가시거나 아님 잘 읽고 틀린데 있음 트집잡아주시기 바랍니다. :) 1. 맥스웰의 전자기 이론 자석이 움직이는데 근처에 도체가 놓여 있는 경우에, 움직이는 자석 주위에는 일정한 에너지를 갖는 전기장이 생깁니다. 그러면 전기장은 도체 안에 (표면이라고 해야 되나?) 전류를 일으킵니다. 거꾸로 자석이 가만히 있고 도체가 자석 옆에서 움직이면 전기장은 없는데(자석끼리 끌고 밀치는 데 쓰는 자기장밖엔 없죠?) 괜히 도체 안에 "기전력"이 발생해서 마치 도체가 가만 있고 자석이 반대방향으로 움직였을 때하고 똑같은 크기의 전류가 도체에 흐릅니다. (이런 걸 수식으로 엄밀하게 정리한 것이 맥스웰 방정식이라고 생각하시면 됩니다.) 여기서 이상한 점을 느낄 수 있을 겁니다. 즉 전자기 현상에 있어서 물체들이 서로의 "상대적인" 운동에만 관련돼서 상호작용을 한다는 것입니다. 이와는 별도로 뉴튼 역학에서는 이미 상대 속도의 개념이 잘 정립되어 있었는데 전자기 이론에서도 상대속도만이 중요하다는 데 주목한 것이 아인슈타인이었습니다. 수식적으로 정리된 맥스웰의 방정식은 전자기장이 파동처럼 퍼져 나간다는 결론을 내는데, 여기서 파동의 속력은 진공의 유전율 (즉 일정한 크기의 전하가 얼마만큼 떨어져 있으면 어떤 크기의 힘으로 서로 잡아당기거나 밀쳐내는가를 결정하는 상수)과 투자율 (주식투자가 아니라 역시 자석들간의 상호작용력의 크기를 계산하는 데 필요한 상수)의 곱의 제곱근의 역수로 정해집니다. ---- 여기다 파이(오리온 情 쵸코파이가 아니라 원주율 파이)를 곱하던가 나누던가 하는지는 까먹었음.--단위계에 따라 달라지긴 하지만 파이는 수학적인 상수니까 여기선 그냥 물리적인 의미가 있는 거만 가지고 얘기합니다. 이렇게 얻은 파동의 속력이 실험적으로 측정한 빛의 속력과 같다는 걸 보고 물략짜덜이 "아하, 빛이 전자기파구낭"하고 알아낸 겁니다. 2. 광속도 불변 예전에는 빛이 파동이란 것만 알고 빛의 매질이 따로 있을 거라고 생각해서 그것을 가상적으로 "빛-에테르"라고 불렀습니다. 줄여서 그냥 "에테르"라고도 했답니다. 그런데 빛의 속력에서 에테르의 성질을 계산해보면 당시에(그리고 지금까지)알려진 어떤 물체보다도 딴딴한 넘였습니다. 즉, 쇠 속에서 소리의 전달 속도가 초속 수 킬로미터밖에 안되는데 빛의 속도는 삼십만 킬로미터나 되니까 아마도 에테르는 쐬보당 백억배 이상은 딴딴할 거시다는 거죠. 그러면서도 (경험상) 지구나 다른 물체들이 그 속을 아무런 제약 없이 그냥 헤집고 다닐 만큼 말랑해야 된다는 특이한 넘입니다. 어쨌거나 지구가 에테르 속을 헤집고 다니는 거라면 지구의 공전 방향(자전속도는 공전속도에 비해 매우 느리기 땜에 일단 생략) 으로 움직이는 빛의 속도와 공전방향과 수직으로 움직이는 빛의 속도에 차이가 있어야 할 겁니다. 그래서 마이켈슨이란 사람과 모올리라는 사람이 매우 정교한 장치(간섭계)를 만들어서 실험한 결과 일년 내내 실험을 해도 지구의 공전속도가 만들어 내야 할 광속도의 차이가 전혀 검출되지 않는다는 것을 알아냈을 뿐이었습니다. 그래서 사람들은 헷갈리기 시작했습니다. "공전방향으로 빛의 속도가 줄어든 만큼 간섭계도 에테르의 압력으로 찌그러져서 그럴 거시다" "그러면 에테르에 대해 지구와 반대로 움직이는 빛은 더 빨라질텐데 간섭계가 찌그러지면 공전속도의 두배에 해당하는 만큼의 속도차가 나타나야 할 거 아닌감?" "그때는 간섭계가 늘어나나부지, 뭐" "-_-;" 이런 식으로 난다 긴다 하는 선배 물략짜덜이 게보린 찾고 있을 때 베른의 특허청에서 일하던 재야 물리학자 알버트군은 "머그리 복잡케 생각하노? 걍 광속도 일정!해부리면 될껄!"하고 "매질 없는 파동"비스므레한 매우 용감무식한 개념을 만들어내고 있었습니다. 3. 광전 효과 19세기의 마지막 해인 1900년, 뜨거운 물체가 내는 빛의 스펙트럼에 대한 공식을 만들려고 골치아프던 플랑크는 한 대학원생이 만든 공식을 들여다 보다가 빛은 진동수에 비례하는 에너지를 갖는 걸로 가정하면 그런 공식이 만들어진다는 것, 그리고 그것이 실험 결과와 아주 잘 들어맞는다는 것을 알아냅니다. 그리고 그때의 비례상수가 바로 플랑크 상수라고 하는 겁니다. 플랑크가 20세기 사람들한테 던져준 쿠리수마수 선물! 그러나 아직은 빛이 진동수 곱하기 플랑크 상수라는 에너지를 갖는 입자라는 생각은 사람들 머릿속에 떠오르지 않았습니다. 그런데 문제의 재야 물리학자 알버트군은 여기서 사고를 칩니다. 금속에 빛을 쬐면 전자가 튀 나오는데 일정한 진동수 이상의 빛이 쬐여져야만 빛이 튀 나오고 진동수가 작은 빛은 아무리 많이 쬐어도 전자가 튀어나오지 않는 걸 보고는 용감무식한 알버트군은 걍 "빛은 입자구먼"하고 논문을 발표합니다. 그러니까 뜨거운 물체에서 나오는 열 복사선의 경우 뿐 아니라 "항상" 빛은 진동수에 비례하는 일정한 단위 에너지를 갖는 덩어리째로만 돌아댕긴다는 얘깁니다. 즉 빛은 파동이지만 입자라고 해도 되나벼라는 빛의 파동-입자 이중성을 "발견"한 겁니다. "아 그 위이대한 아이작 뉴튼도 빛은 입자일껄이라고 함서도 한편으로는 주기적으로 변하는 성질을 갖는 것이 아닐까라고 고민했듯이 꺼꾸로 빛이 파동일껄이라고 발켜진 이 시점이지만서도 그래도 빛은 입자일껄이라고 해도 되쟎겠어?" -모 아인슈타인씨의 아들 알버트 모군- 그리고, 덤으로 "입자라고 해 뿌리면 매질은 필요없쟈녀"라는 파격적인 돌파구를 하나 마련합니다. (입자이면서 속도는 또 파동방정식에 의해서 결정되는 희한뻑적지근한 물건이 되긴 했지만...) 4. 특수 상대성 이론 여기서 한번 더 용기를 얻은 아인슈타인은 "그래, 함 밀고 나가보자" 하면서 1) 물리법칙은 물체의 상대속도에만 관계한다.(상대성 원리) 2) 물리법칙(역학과 전자기학)은 어디서 관찰하든 똑(`떡'의 이경실 버전이 아님)같다.(즉, 광속도 불변) 라는 두 가지 가정을 가지고 이론을 하나 만들었습니다. 이 때 이미 가정 1)에 의해 절대속도를 버렸기 땜에 기준으로 삼을 수 있는 건 가정2)의 광속도 밖에 없었습니다. 그래서 시간이나 공간의 길이가 상대적인 운동에 따라 가변적인 것이라고 놓고 광속도를 시공간상의 잣대로 삼아서 통빡을 굴려보니까 시간과 길이가 늘었다 줄었다 하는 규칙이 나오고, 덤으로 질량과 에너지의 등가성도 나오고 한 것입니다. 5. 시간 할일 없는 텔레토비 두 놈을 데려다가 실험을 해 봅시다. 뽀하고 뚜비를 좌우로 나란히!시킨 다음 둘 사이의 거리를 L이라고 합시다. 그리고는 준비이~땅해서 달리도록 합니다.("히히 호호") 이 때의 속도를 v이라고 합시다.광속도는 c이라고 하지요. 뽀가 뚜비에게 후레시를 비추면 뚜비는 거울로 뽀에게 반사시킵니다. ("히히 호호") 그러면 빛이 왔다갔다 하는 시간 2*t은 2 * L / c 이 되겠죠? 그런데 정지해 있는 보라돌이가 보면 빛은 대각선 방향으로 움직이니까 빛이 왕복하는 시간을 2*t'라고 하면 빛이 간 경로의 길이는 2ct'= 2*SQRT((vt')^2 + L^2)이니까 t' = L/SQRT(c^2-v^2)= L/c 나누기 SQRT(1-(v/c)^2) = t/SQRT(1-(v/c)^2)이 되죠? 즉 뽀와 뚜비가 지네들은 t이라는 짧은시간 재밌게 논다고 생각하는 동안 보라돌이는 t'=t/SQRT(1-(v/c)^)라는 긴 시간을 재미없게 우두커니 서 있는 겁니다. *여기서 SQRT는 제곱근 6. 길이 이제 길이의 수축을 재 봅시다. 위에서는 길이가 줄어드는 것에 영향을 안받게 하려고 빛을 달리는 방향에 수직으로 왕복시켰지만 이번에는 길이 가 어떻게 변하는지 재기 위해서 빛을 달리는 방향으로 왕복시켜 봅시다. 뽀와 뚜비를 잡아다가, 앗 나나가 저기서 안시켜준다고 울고 있군요. 그럼 뽀와 나나를("해해해") 잡아다가 구루마에 태웁시다. 뽀와 나나에게 각각 후레시와 거울을 주고 앞에서처럼 놀게 합시다. ("히히히", "해해해") 구루마의 길이가 L이었다고 할 때 이것을 v라는 속도로 달리게 합시다. ("히히" "해해") 뽀가 나나에게 빛을 비추어서 빛이 돌아오기까지의 시간은 구루마 안에서 보면 2*t' = 2*L/c입니다. 그럼 정지해 있는 뚜비가 밖에서 보면 어떻게 보일까요? 일단 시간은 t'=t/SQRT(1-(v/c)^2) (v/c)를 쓰기 귀찮으니까 b=v/c라고 합시다. 그럼 t'=t/SQRT(1-b^2) 뚜비가 보면 뽀에게서 나나에게 빛이 가는 시간은 t1 = L'/(c-v), 나나에게서 뽀에게 빛이 돌아오는 시간은 t2 = L'/(c+v)가 될 겁니다. 합한 시간은 2t'=t1+t2 .....................................(1) 그리고 앞 식, t' = t / SQRT(1-b^2) .......................(2) (1)에서 2t' = L'*2c/(c^2-v^2) .: t' = L'/(c * (1-b^2)) (2)에서 t' = t / SQRT(1-b^2) 이니까 L' = L * SQRT(1-b^2), b=v/c 가 됩니다. --> 길이가 줄었어요! 7. 속도의 합성 그런데 구루마 밖에서 본 나나의 시간은 어떻게 흘러갈까요? 위의 식들은 모두 시간 0일때 뽀가 원점을 지나고 바로 그때 빛이 뽀에게서 나와서 날라가는 경우에 해당하는 것이었습니다. 그런데 뽀에게서 빛이 나와 x에 앉아 있는 나나에게 빛이 닿는 순간에 뚜비가 본 뽀와 나나의 시간은 t'' = L'/(c-v) = L*SQRT(1-b^2)/(c-v)이고, 뽀가 볼 때 나나는 뽀에 대하여 정지하고 있으므로 뽀가 계산한 "나나에게 빛이 도착한 시간" t=L/c에 뚜비가 본 나나의 시간은 t'= t/SQRT(1-b^2) 입니다. 따라서 뽀가 봤을 때 나나의 시간이 t라고 하면 뚜비가 본 나나의 시간은 뽀의 시간에 비해 Dt' = t'' - t' = x*SQRT(1-b^2)/(c-v) - x/(c*SQRT(1-b^2)) = (x/c){SQRT(c^2-v^2)/(c-v) - c/SQRT(c^2-v^2)} = (x/c){SQRT(c+v)/SQRT(c-v) - c/SQRT(c+v)SQRT(c-v)} = (x*v)/{c*SQRT(c^2-v^2)} = x v / (c^2*SQRT(1-b^2)) 만큼 앞서 있습니다. 따라서 나나의 위치를 일반적으로 x라고 할 때 뚜비가 본 나나의 시간은 t'' = t' + x*v/SQRT(1-b^2) 다음 속도의 합성! 이건 쫌 해골에 변비생길 거 같지만 함 해보죠. 구루마에 보라돌이가 몰래 타고 있었는데 뽀가 앉은 의자 밑에 숨어있다가 나나가 갖고 있는 거울을 뺏으러("호호호") 기어간다고 합시다.(속도 u) 뽀가 후레시를 비추는 순간 의자 밑에서 기어나오기 시작했다고 하면 빛이 나나에게 갔다가 반사돼 나오면서 구루마 시간 t에 구루마 좌표계로 x에서 보라돌이에게 맞을 겁니다.("히힛") 그럼 x는 t=L/c+(L-x)/c = x/u에서 2L/c=x(c+u)/cu .: x = 2L*u/(c+u) t = 2L/(c+u) 그리고 뚜비가 본 x', t'은 일단 빛이 나나에게 가는 시간 t1은 t1=L'/(c-v). 이동안 보라돌이는 u'*t1만큼 전진했고 나나는 v*t1만큼 전진했으니까 이 때 나나와 보라돌이의 거리는 y=L'+v*t1-u'*t1=L'(1+(v-u')/(c-v)) =L'(c-u')/(c-v) 따라서 빛이 나나의 거울에서 반사되어 보라돌이와 만나는 시간 t2는 t2 = y/(c+u') = L'(c-u')/(c-v)(c+u') 따라서 총 시간 t'은 t' = t1+t2 = L'{1+(c-u')/(c+u')}/(c-v) = 2L'c/(c+u')(c-v) t' = t / SQRT(1-b^2) + x v /(c^2*SQRT(1-b^2)) L' = L * SQRT(1-b^2)를 대입하면, t/SQRT(1-b^2) + 2Luv /c^2(c+u)SQRT(1-b^2) = 2Lc*SQRT(1-b^2)/(c+u')(c-v) t = 2Lc(1-b^2)/(c+u')(c-v) - 2Luv/(c^2*(c+u)) = 2L/(c+u) (c+v)/(c+u')-uv/c(c+u) = c/(c+u) (c+v)/(c+u') = (c^2+uv)/c(c+u) c+u'=c(c+v)(c+u)/(c^2+uv) =(c+v)(c+u)/c(1+uv/c^2) u'=(c^2+(v+u)c+uv-{c^2+uv})/c(1+uv/c^2) =(v+u)/(1+vu/c^2) 즉 v라는 속도로 달리는뽀가 볼 때 보라돌이가 u라는 속도로 움직인다면 정지해 있는 뚜비가 볼 때 보라돌이의 속도는 v+u u' = ---------- 1+ v*u/c^2 가 되는 것이 속도의 합성법칙입니다. 여기서 u와 v가 모두 c에 비해서 엄청 작으면 분모의 vu/c^2항이 1보다아주 작게 되니까 u'=~ v+u (광속도가 무한대인 경우에도 이렇게 되죠: 뉴튼역학의 경우) 에 가깝게 되지만 어느 한 쪽이 c가 되면 u'은 무조건 c가 된다는 걸 금방 알 수 있슴다. 그러니까 태양에서 나온 A광자와 B광자의 운동으로 돌아가 보면, 태양에서 봤을 때 속도 c로 멀어져가는 B는, 반대방향으로 c로 멀어져가는 A에서 봤을 때 태양의 속도 c에 태양에서 본 B의 속도 c를 합성하면 v(B) = (c+c)/(1+c*c/c^2) = c 즉, B광자는 A에 대해서 광속으로 멀어지는 것처럼 보인다는 말씀입니다. --- 왜 이런 결과가 나올까요? 결국 A에서도 맥스웰의 전자기 방정식이 그대로 성립하니까! 그리고 A에서 봤을 때 B광자는 A에서 본 전자기 방정식에 따르는 전자기파이니까! (즉 광속도 일정의 법칙은 상대론을 전개하기 전에 이미 증명된 사실에 들어가는 것이고 태양과 B의 상대적 운동을 기술하는 것이 상대론의 "내용"이 된다고 할 수 있습니다.) 물론 태양은 이미 접시처럼 납작해 보이겠죠? 태양 근처를 A에서 보면 마치 시간/공간이 납작해졌으니까 만일 태양에서 B를 쫓아가려고 하는 우주선같은 게 있다면 그 우주선을 A에서 봤을 때는 공간도 납작해지고 시간도 얼어붙어서 "태양에 대해서" 꼼짝도 못하고 있는 것처럼 보이겠죠. 한 번 더 부연하자면 빛은 광원에서 일단 나오면 광원의 운동과는 상관없이 "관찰자"가 봤을 때 일정한 광속으로 퍼져나갑니다. 마치 물리법칙이 관찰자를 따라다니는 것처럼... 그런데 왜 이게 "특수"상대성 이론이냐? 원래 아인슈타인의 특수 상대성이론 논문 제목은 "움직이는 물체의 전기역학에 관하여" 입니다. 근데 여기서는 등속 직선운동하는 물체만 다뤘는데, 나중에 가속도운동을 하는 물체에 대한 걸 다루면서 "일반적인" 상대성 이론이라고 이름을 붙이고 나서 보니까 처음 껀 등속도 운동하는 "특수"한 경우를 다룬 것이기 땜에 "특수상대성이론"이라고 부르게 된 겁니다. ---------------------------------- 돈내고 피씨방에서 글쓰는게 오늘로 이틀쨉니다. 물론 글은 미리 써와서 퍼올린 거지만.. 앞으론 이런짓 안할랍니다 T_T; 매직님 혹시 더 궁금하시면 이멜 쌔려주세요. ryums@sysic.hei.co.kr임다 |