| [ PhilosophyThought ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (limelite) 날 짜 (Date): 1996년08월27일(화) 04시21분15초 KDT 제 목(Title): Re:간단해...문제 둘 (-x)*(-y)=xy ? 위에 claudia id로 적은 글 "혹시나 해서"가 완전히 엉뚱한 소리였다는 생각을 하며, 우연히 책꽃이에 꽃혀있던 해석학 책을 보니, 이 문제의 답이 생각보다는 조금 복잡하다는 것을 것을 볼 수 있었습니다... 먼저 field라는 것이 정의되어 있어야 하네요... 여기 수학이나 물리학 하시는 분들이 많지만, 혹 모르시는 분들을 위해 field란 우리들이 아는 기본적인 연산인 덧셈,곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙이 성립하고 덧셈, 곱셈에 대한 항등원(0, 1) 및 역원이 존재하며, 배분 법칙이 성립하는 수의 계(number system)입니다. field의 정의에 대해 책에 있는 본문을 그대로 옮기 겠습니다... ***** I) Addition axioms : There is an addition operation "+" such thant for all numbers x,y,z, we have (i) x + y = y + x (commutativity) (ii) x + (y + z) = (x + y) + z (associativity) (iii) there is a number 0 such that x + 0 = x (existence of zero) (iv) for each x there is a number w denoted -x such that x + w = 0 (existence of additive inverse) II) Multiplication axioms : There is a multiplication operation "*" such that (i) x * y = y * x (commutativity) (ii) x * (y * z) = (x * y) * z (associativity) (iii) there is a number 1 >< 0 such that 1 * x = x (existence of unity) (iv) for each x there exists a number v such that x * v = 1 (existence of reciprocals) (v) x * (y + z) = x * y + x * z Any set or "number system" with operations + and * obeying these rules is called a "field". From now on, we will just write xy for x * y. ***** (-x)(-y)= xy 임을 보이기 위해서는 field에서 1) negative가 유일하고, 2) 0 * x = 0 (for all x) 임과 같이 당연해 보이는 것 몇가지를 증명해야 하는군요. 1) Negatives are unique ; x + y = 0 이고 x + w = 0 이라고 하자. 여기서 x + y = 0 양변에 y를 더하면, y + (x + w) = y + 0 = y. 한편 위의 axiom I(ii)에 의해 y + (x + w) = (y + x) + w = w. 따라서, y = w. (역시 낯설은 분들을 위해 설명을 좀 하면, 수학에서는 그 해가 유일한가는 상당히 중요한 문제이고, 여기서도 덧셈의 역원이 유일하게 존재하는가를 증명하고자 하는 것이다. 이 증명은 x에 y라는 덧셈의 역원과 w 라는 덧셈의 역원이 있다면 y = w 이므로, 덧셈의 역원은 두 개 이상일 수 없다는 당연해 보이는 것을 증명을 하는 것이다.) 2) 0 * x = 0 ; 0 + 0 = 0 임을 이용한다. II(i) 및 II(v)에 의해 0 * x = (0 + 0) * x = 0 * x + 0 * x. 여기의 양변 0 * x = 0 * x + 0 * x 의 양변에 -(0 * x)를 더하면, 0 = 0 * x. 3) (-x)(-y) = xy ; 먼저 3-1) : (-x)y = -(xy) 임을 보여야 하는군요. 위의 2)에 의해 (-x)y + xy = (-x + x)y = 0 * y = 0 이고, 따라서, (-x)y 는 xy의 덧셈의 역원이므로 (-x)y = -(xy). 그리고, 3-2) : (-1)(-1) = 1 임을 보여야 하네요 (1 -1)(-1) = 0 * (-1) = 0 이고, 이 식의 좌변 (1 -1)(-1) = 1 * (-1) + (-1)(-1) = -1 + (-1)(-1). 여기서는 앞의 3-1) (-x)y = -(xy) 라는 점을 이용해 1 * (-1) = (-1) * 1 = -(1 * 1) = -1 로 계산할 수 있었군요. 따라서, 0 = -1 + (-1)(-1). 이 양변에 1을 더하면, 1 = (-1)(-1) 이군요.(이것이 이 증명의 키포인트가 되겠지요.) 그럼, (-1)x = -(1*x) = -x 이므로 (-x)(-y) = (-1)x(-1)y = (-1)(-1)xy = 1 * xy = xy. 이거 이쯤 되면, 간단해 보이지만 그리 간단한 문제는 아니군요. 증명이 되고나니 상당히 재미있네요. 증명의 의미가 수의 체계가 우리가 알고있는 기본적인 연산법칙을 만족시키기만 하면, 음수 끼리의 곱은 양수가 되는군요. 관념적인 수학의 세계에서의 정의가 자연계에서 실지로 쿨롱의 법칙(Monde님이 전에 "Re:간단해 보이는 문제 둘"에서 이야기 했던)의 법칙을 확인시켜 줄 수 있다니... 이런 것에 대해서는 누군가 좀 더 구체적으로 설명해 주시기 바랍니다... 그리고, field 중에 oder axiom(우리가 알고 있는 기본적인 수의 대소 비교를 가능케하는 정리)이 성립하는 odered field가 있는데, 이 odered field에서는 (-1)(-1) = 1 임을 이용하여 0 < 1 임을 증명하네요... 참고로 그 부분도 같이 올리겠습니다... (III) Oder axioms : There is an ordering "<=" (more precisely, a relation) such that (i) if x <= y and y <= z, then x <= z (transitivity) (ii) (x <= y and y <= x) <=> (x = y) (reflexivity) (iii) for any two elements x,y either x <= y or y <= x (trichotomy) (iv) if x <= y, then x + z <= y + z (v) 0 <= x and 0 <= y implies 0 <= xy 4) ordered field에서 0 < 1 ; 1 >< 0 이 아니므로 III(iii)에 의해, 0 < 1 이거나, 1 < 0 이거나 둘 중에 하나이다. 먼저, 1 < 0 이라고 가정하자. III(iii)을 이용해 양변에 -1을 더하면 0 < -1 이 된다. 0 < -1 이라면 III(v)에 의해 (-1)(-1) = 1 >= 0. 이는 가정과 모순. 따라서, 0 < 1. - limelite |