| [ PhilosophyThought ] in KIDS 글 쓴 이(By): limelite (환) 날 짜 (Date): 1996년06월09일(일) 07시31분19초 KDT 제 목(Title): [11D] 차원이란 무엇인가? #118 백재성 (greyfox ) [11D] 차원이란 무엇인가? 10/14 12:35 124 line 차원이란 무엇인가? 과학 소설가들은 더 많은 차원의 공간을 오랫동안 찬양해 왔다. 작가 들은 '다른 차원'을 도입하여 달팽이의 속도를 빛의 속도와 비교하여 일반적으로 3차원 공간을 가로지르게 한다. 즉 권태감이 없게 그들의 등장 인물들을 우주의 이곳에서 저곳으로 옮겨 다니게 한다. 클라크(A.C.Clarke)의 소설 <2001: 우주 여행 2001: A Space Odyssey> 에서는 토성에 대한 탐험이 토성의 위성 중 하나에 위치한 또 다른 차 원에 있는 출입문을 통해 뛰어들면서 끝나게 된다. 차원에 대한 인류의 환상은 과학소설로시작되지는 않았다. 초기 그리 스 사람들은 기하학에 관한 중요성을 깊이 인식했다. 그리스 기하학자 들이 차원의 수수께끼에 직면했던 하나의 재미있는 예가 다각형의 성질 에 관한 것이었다.(닫힌 도형은 같은 길이의 변으로 구성된다; 사각형, 오각형, 팔각형등). 다각형의 수는 한정되어 있지 않다; 그들은 어떤 수의 변들도 가질 수가 있다. 이와는 대조적으로 단지 5개의 정다면체 의 모양이 있다(닫힌 면은 삼각형과 같은 똑같은 모양으로 구성되어 있 다). 그리스 사람들은 그들의 기하학을 깊은 신비적인 의미로 불어넣었 고 프톨레마이오스는 심지어 3차원 이상의 공간은 자연에 허용되지 않 는다는 연구를 발표하기도 했다. 근대에 와서, 리만(G.F.B.Rieman) 같은 수학자들은 고차원 공간의 체 계적인 연구를 발달시켰다. 그러나 그들이 부딪쳤던 기본적인 문제는 차원에 관한 만족할 만한 정의를 세우는 일이다. 이것은 수학자들이 서 로 다른 차원을 갖는 공간의 성질에 관한 정리를 증명하려 했다는 점에 서 확실히 중요한 일이다. 직관적으로 우리는 기하의 확장 성질에 따라 기하학적 구조를 1,2,3차 원으로 나눈다. 따라서 아무런 확장성을 갖지않는 점은 0차원이다. 선 은 1차원, 면은 2차원 그리고 부피는 3차원이다. 우리는 기원전 300년 경 유클리드가 내린 정의를 되새겨 보자. 점은 부분을 갖지 않는다. 선은 넓이가 없는 길이이다. 면은 길이와 넓이만을 갖는다. 입체는 길이와 넓이 그리고 깊이를 갖는다. 유클리드는 계속해서 선의 극한값은 점이며 면의 경계면은 선이고 입 체의 경계는 면이라고 강조했다. 이것은 점을 0으로부터 시작하여 하나 씩 쌓아 올리는 계층구조에서 차원을 정의하는 개념으로 이끌어 냈다. 이와 같이 1차원적 물체는 그 극한 값, 즉 선으로서 점을 갖고 있다. 이런 방법으로 우리는 3차원부피에 의한 경계로서 4차원 구조의 정의 를 이끌어 내게 된다. 비록 이런 과정이 실제 물리적 상황에 대해 말할 수 있는 것은 아무것도 없지만, 논리적으로 이렇게 정의될 수 있는 차 원의 수에는 제한이 없다. 3차원에 대한 정확한 이해는 공간에 점을 찍어 보는 계획을 상상하여 얻을 수 있다. 예를 들어, 당신이 미리 정해진 지점에서 친구를 만나고 싶다고 가정하자. 한 방법은 위도와 경도를 주는 것이다; 가령 당신은 엠파이어 스테이트 빌딩의 좌표를구할지도 모른다. 하지만 높이를 표 시하는 일이 남겨진다. 당신은 몇 층에 있을 것인가? 결국 3개의 독립 된 수가 공간에서의 지점을 정의하는데 필요하다. 이런 이유로 공간은 3차원적이다. 상대성 이론은 공간이 시간과 어떻게 얽혀 있는지 밝혀 주었는데 여기 서 우리는 공간만을 생각할 것이 아니라 시공을 함께 생각해야 한다. 당신은 무슨 요일에 엠파이어 스테이트 빌딩에서 친구를 만나려 하는 가? 어떤 사건에서 시간을 정하기 위해서는 하나의 수, 여기서는 날짜 가 필요하다. 그래서 시간은 1차원적이다 .따라서 시간과 공간을 함께 붙이면 우리는 4차원 시공에 이르게 된다. 우리가 그 밖의 차원을 그려보려 할 때, 예를 들어 네번째 공간 차원 이 있어서 전체적으로 5차원의 시공을 만들면, 직관력은 실패하고 만 다. 도움을 얻는 방법은 추론하는 일이다. 2차원적인 종잇장을 상상해 보자. 종잇장은 영구히 표면에 국한되어 있다. 종잇장에는 '위' 또는 '아래'라는 개념이 없다. 우리는 사실 표면이 3차원적인 공간 속에 감 싸여 있다는 사실을 인식할 수 있지만 종잇장 그 자체는 우리의 포괄적 인 인식을 깨닫지 못한다. 종잇장은 단지 표면내에서 일어나고 있는 사 건만을 인지한다. 우리는 생명체에게 3차원적인 물체가 표면을 관통할 때 무엇을 보는가 물어 볼 수 있다. 표면은 물체의 부분을 자르며 단면은 물체가 관통함 에 따라 크기와 모양을 조금씩 변화시킨다. 예를 들어 구(球)는 처음에 는 점으로 탐지되고 그 다음 원반으로 부풀어서 최대 반지름에 도달한 다음 또 다른 점으로 사라질 때까지 수축된다. 좀더 복잡한 물체는 훨 씬 복잡한 모양을 만들어 낼 것이다. 추론을 하면서 우리는 4차원 시공이 5차원 또는 그 이상의 차원에서 펼쳐진다고 상상할지도 모른다. 5차원 이상의 기하는 우리가 상상할 수 없지만 그럼에도 불구하고 수학을 이용하여 완벽한 이론적 기술을 구축 할 수 있다. 사실 수학자들은 이미 오래 전에 기하 법칙을 무한대를 포 함하는 임의의 수를 가진 공간으로 확대시켰다. 따라서 3차원만이 우리 눈앞에 나타난다 하더라도 고차원 공간을 만들어 보는 일도 가능하다. 4차원 공간은 어떤 모습의 공간을 가질까? 차원이란 한 측면이 찾을 수 있는 서로 수직 방향의 수와 관련 있다. 예를 들어 이 페이지의 표 면은 2차원적이다. 그것을 테이블 위에 평평하게 놓는다. 구석에 있는 페이지의 끝은 직각을 이루는 두 선을 정의한다. 두 끝에 수직인, 페이 지를 가로지르는 구석 어디에서도 세번째 선을 긋는다는 것은 불가능하 다. 만일 우리가 페이지의 면 밖에서 수직선을 그으려고 한다면 그런 지시는 가능하다. 2차원적인 페이지에 반해 3차원적인 공간에서는 서로 수직 방향이 존재한다. 4차원 공간에서는 4개의 수직 방향이 존재하게 될 것이다. 우리가 시도한다 하더라도 우리는 일반적으로 공간에 국한되어 있는 3 개의 선에 직각인 새로운 선은 결코 발견할 수 없다. 세개의 선에 수직 인 어떤 선은 우리의 공간 안에 전혀 놓여 있지 않는 방향에서 시작되 어야 한다. 비록 우리가 그런 선이 어디로 가는지 쉽게 그려볼 순 없지 만, 논리적으로 그런 선이 존재한다는 사실은 명백하다. 우리는 그것을 기술할 수 있고 그 기하학적 성질을 하나하나 평가하여 목록을 만들 수 도 있다. 그런 성질을 지닌 간단한 예가 고등학생이면 누구나 배우는 그리스 기 하학자 피타고라스의 유명한 기하학적 정리로 나타내 진다. 이 정리는 직각 삼각형에 관한 것이다. 피타고라스는 기호로서 직각 삼각형의 세 변의 길이가 X²= a²+ b²으로 나타내어짐을 보여준다. 삼각형은 물론 2차원적 물체이지만 피타고라스 정리를 3차원으로 일반 화하여 직육면체내의 대각선의 길이로 나아간다. 기호로 표시하면 X²= a²+ b²+ c²이 된다. 이번에는 대각 길이 X를 계산하기 위해 3개의 수직면 a,b,c의 길이가 필요하다. 4차원 공간에서는 대각 길이가 4개의 수직 길이 a,b,c,d로부터 계산될 것이다. 그렇게 되면 우리는 X²= a²+ b²+ c²+ d²이라는 공식을 갖게 된다. 따라서 비록 우리가 4차원 상자를 상상할 수 없더라도 그 기하학적 성 질에 관해서는 여전히 상세하게 논할 수 있다. 비록 기하학적인 통찰력이 가치가 있더라도 그것들은 사상누각으로 판 명되었다. 그 집은 현대 수학의 시대가 집합 이론이라고 알려진 강력한 수학 영역의 발달과 더불어 19세기 말로 향하기 시작했을 때 붕괴되었 다. 수학자들이 받은 충격 중에는 칸토어(G.Cantor)가 면에서와 같이 선에서도 똑같은 수의 점들이 있다고 하는 발견이었다. 표면이 표면 내 에 그려진 단일 선보다 점들이 무한대로 많다고 하는 직관은 완전히 불 신받게 되었다. 이런 돌발 사건은 탁월한 수학자들까지도 믿지 않게끔 만들었다. 어떤 사람들은 칸토어를 미쳤다고 깎아 내렸다. 에르미트(C. Hermite)는 "칸토어의 논문을 읽는 것은 마치 고문을 당하는 것 같다. ... 선과 면 사이의 함수는 절대로 무관하다. 칸토어는 좀더 기다리는 편이 나을 뻔했다. ..." 등으로 평가 절하했다. 한 세기가 바뀐 직후 손상된 명성은 회복되었고 차원에 관한 만족할 만한 정의가 얻어졌다. 브라우워(L.E.J.Brouwer), 레스베스크(R.Lesbes gue) 그리고 다른 학자들의 공헌으로 결국에는 두 공간을 비교하여 과 연 같은 차원성을 갖는지를 결정하는 빈틈없는 논리를 세웠다. 이 증명 은 직관으로부터 멀리 벗어난 난해하고 추상적인 집합 이론의 개념에 바탕을 둔다. 그렇게 주의 깊게 상세히 다룬 결과 우리 과학과 경험의 이론적 토대가 확고해졌다. |