| [ KAIST ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) <211.119.130.59> 날 짜 (Date): 2000년 8월 24일 목요일 오후 05시 33분 33초 제 목(Title): Re: 수학문제 A,B가 주어졌을 때 XA=BX를 만족하는 X를 구하는 문제는 A, B를 Jordan canonical form으로 바꿔서 풀면 됩니다. X가 non-invertible한 경우까지 해서 완전히 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어 A=S' a S, B=T' b T ('는 inverse)라고 한다면, XA=BX -> XS'aS=T'bTX -> TXS'a=bTXS'이 되죠. x=TXS'으로 놓으면 문제는 xa=bx가 되고, 이러한 x들을 다 구하면 X는 X=T'xS가 되므로 전부 구할 수 있습니다. 교훈은, 그러니까 A나 B가 예를 들어 둘 다 대각화 가능하다면, 대각화된 행렬에 대해 X를 구하고 나면 원래의 A, B에 대해서도 X를 구하는 것이 가능하다는 이야기입니다. 원칙적으로 모든 행렬이 대각화 가능한 것은 아닙니다만, 설명의 편의를 돕기 위해 그러한 경우를 생각합시다. A,B가 따라서 대각행렬이라고 하면, XA=BX <-> x_{ij}a_{jj} = b_{ii}x_{ij} for all i, j 그러므로, 각각의 (i,j)에 대해 위의 식을 만족시키는 x_{ij}를 따로따로 찾아주기만 하면 됩니다. 만일 특정한 (i,j)에 대해 a_{jj} != b_{ii}이면 이 경우에는 등식이 성립하기 위해서는 x_{ij}=0만이 가능합니다. 대신에 그 (i,j)에 대해 a_{jj}=b_{ii}인 경우에는 x_{ij}는 아무 값이나 넣어도 등식을 만족시키죠. 이게 유일한 조건입니다. 즉, a_{jj}!=b_{ii}이면 x_{ij}=0. 그렇지 않으면 x_{ij} = * (아무거나). 일반적으로는 모든 행렬이 대각화 가능하지 않습니만, Jordan canonical form이라는 것을 복소수 위에서 생각할 수 있습니다. 대각화 가능한 행렬의 경우에는 대각화한 형태가 바로 Jordan canonical form입니다. (뭐, 정렬하기에 따라 좀 다릅니다만, 따지지 맙시다. ;) 대각화가 안 되는 놈을 위해서는 거의 대각화에 가까운 형태라고 해야 하나? 하여튼 선대 책에 다 나오는데, 마찬가지로 대각행렬을 다룰 때와 비슷한 방법으로 canonical form들을 가지고 0 아니면 *을 각각의 항목에 채워넣는 알고리즘을 쉽게 생각할 수 있습니다. diagonalization이나 canonical form에 대해서, 또는 그런 형태로 만드는 알고리즘에 대해서는 선대 책을 참조하세요. |