| [ Christian ] in KIDS 글 쓴 이(By): staire ( 강 민 형) 날 짜 (Date): 1995년10월26일(목) 01시07분52초 KST 제 목(Title): [R] hyc의 무한 논증 1. 무한히 멀리 있는 원인으로부터 현재의 현상에 도달하려면 무한의 단계를 거쳐야 하므로 그쪽 입장에서 보면 결코 도달할 수 없을 텐데도 '현재'는 분명히 존재한다... 따라서 무한히 먼 원인이란 없다... 라는 부분에 관해서 (여기가 거의 핵심인 듯이 보이는군요...) Ans> 무한히 멀리 있는 원인으로부터 현재에 도달하는 방법은 간단합니다. '무한의 단계를 거치면' 되지요. 무한히 먼 곳에 좌표를 고정시킬 수 있다면 무한의 process를 상정한다고 해서 이상할 건 없는데... 모든 것에 시작과 끝이 있어야 안심하는 유태인 특유의 세계관을 보여준 것에 불과한 것같군요. 우리는 '무한'이란 것을 다룰 때 주의해야 합니다. 크게 중요한 것은 아니지만 미스너의 'Mixmaster 우주론'을 참조하시기를... '무한히 먼 과거'로부터 현재에 도달하는 방법을 명쾌하게 보여주고 있거든요. 그 우주론이 진리라고 주장하는 것은 아니지만 적어도 형식논리의 입장에서 '무한히 먼 과거로부터 현재에 도달할 수 없다'는 명제를 안심하고 받아들이는 것이 위험할 수 있다는 점은 반성할 만하다고 봅니다. 2. 인과관계의 chain은 끝이 있거나 끝이 없거나 둘 중 하나뿐이다... 라는 부분에 관해서. (이건 사족이지만...) Ans> 앞에서 말했듯이 무한을 다룰 때에는 명백해보이는 것이라도 섣불리 받아들여서는 안됩니다. 저는 제 3, 제 4의 경우가 얼마든지 가능하다고 봅니다. 어제 약속한 대로 러셀의 paradox 이야기를 해드리지요. '집합'이란 '어떤 object를 원소로 갖느냐 갖지 않느냐를 명확히 판단할 수 있는 모임'이다... 라는 정의는 잘 알고 계시지요? 무엇을 원소로 갖느냐 마느냐 하는 질문에 '제 3의 답'이 있을까요? 직관적으로 없지요? (퍼지 집합 같은 건 도외시합시다.) 그렇다면 모든 집합을 두 종류로 나눕시다. '자신을 원소로서 갖는 집합'을 '좋은 집합', '자신을 원소로서 갖지 않는 집합'을 '나쁜 집합'이라고 일단 부릅시다. 좋지도 나쁘지도 않은 집합이 있습니까? '직관적으로는' 없지요? 왜냐면 어떤 집합이 자신을 원소로서 갖느냐 아니냐 라는 질문에는 제 3의 답이 '직관적으로는' 없으니까요. 그러므로 우리는 자연스럽게 '모든 집합은 좋은 집합이거나 나쁜 집합이며 그 이외의 경우란 없다'라는, 직관적으로 매우 타당해보이는 결론을 얻습니다. 자, 그런데... '모든 나쁜 집합의 집합'을 S라고 부른다면 S역시 집합인 이상 좋은 집합이거나 나쁜 집합이어야 하겠지요? S가 좋은 집합이라면 좋은 집합의 정의에 따라 S는 S의 원소입니다. 하지만 S는 모든 나쁜 집합의 집합인데 좋은 집합인 S를 원소로 가질 수는 없겠지요? 따라서 S는 좋은 집합이 아닙니다. 반대로 S가 나쁜 집합이라면 S 자신은 모든 나쁜 집합의 집합인 S의 원소가 아닐 수 없겠지요? 따라서 자신을 원소로 갖게 되니 S는 나쁜 집합이 아닙니다. 위의 논증의 결론을 요약하면 '자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합(나쁜 집합)의 집합은 자신을 원소로 가질 수도 없고 가지지 않을 수도 없다.'입니다. 제 3의 경우가 발생하고 마는군요. 우주는 우리의 직관을 뛰어넘고 있지요? ----------- Prometheus, the daring and enduring... |