| [ sciEncE ] in KIDS 글 쓴 이(By): koma (김_민_준) 날 짜 (Date): 2002년 10월 16일 수요일 오전 12시 05분 39초 제 목(Title): Re: [Q] 양자역학의 선형성 에고고고... 글을 횡설수설 쓰다보니, 제가 헷갈리기 시작했습니다. 공부에서 손 뗀지 오래 되었다는 핑계로 공부 안 했다고 놀았다는 것이 뽀룩나는 것을 방지할 수 있었으면 좋겠습니다. 계속 이리저리 생각하다가 이상한 부분들을 정리해봤습니다. 대강 이런 식으로 정리해야할 것 같습니다. 1. 비선형성 1.1 비선형의 정의 1.2 비선형 상미분 방정식(고전역학에서 자주 보는 것) 1.3 비선형 편미분 방정식 2. 비선형 방정식의 특성 1.1 선형 방정식의 특성 1.2 비선형 방정식의 특성: single-particle 1.3 비선형 방정식의 특성: multi-particle 1.4 비선형 방정식의 특성: field equation 3. chaos 3.1 chaos의 정의 및 특성 3.2 Hamiltonian chaos 3.3 non-Hamiltonian chaos 4. 양자역학에의 확장 4.1 양자역학에서의 비선형성 4.2 correspondence principle 4.3 quantum chaos 대충 이렇게 정리해야할 것 같습니다만... 예전 같으면 시리즈로 연재했을 것도 같은데, 지금은 그렇게 할 엄두가 안 나네요. 거의 책 한 권을 써야할 것 같은데, 누가 돈이라도 주면 모를까... 그래서, 아주 간략히 몇 가지만 얘기하려고 합니다. (온라인으로 쓰는거라 또 횡설수설할지도 모르지만) 비선형성의 수학적인 정의는 넘어가고... 고전역학에서 하나의 물체의 운동방정식을 쓰는 경우 포텐셜이 비선형이면 엄밀히 말해서 비선형방정식입니다. (양자역학은 다름) 그런데, 이런 비선형 방정식은 별로 관심이 없습니다. 별로 재미있는 일이 안 일어나거든요. 관심이 있는 부분은 particle의 갯수가 적지 않은 경우(degree of freedom이 3 이상)이거나, 나비에-스톡스 방정식같은 field equation인 경우죠. 그래서, 비선형성의 근원이라는 것을 얘기할 때, single-particle -> multi-particle -> field equation 의 형태로 생각해보고자 합니다. 먼저 왜 자연계의 포텐셜이 비선형이냐는 것을 물으시는 분은 없겠죠. 저는 게맛을 모릅니다. 입자간의 포텐셜이 비선형일 때를 field equation으로 바꾸면 비선형항이 생길 수 있습니다. (나비에-스톡스 방정식처럼) 글로발한 놈은 그냥 밖으로 나오고, 로컬한 놈은 비선형항으로 바뀌는거죠. 포텐셜이 선형일 때도 그런지는 잘 모르겠습니다. 그래서, 전에 제가 했던 "multi-particle interaction이 비선형성의 근원이다" 라는 주장은 약간 뒤로 밀어서 "미시세계에서의 상호작용이 거시세계에서의 비선형성을 만들 수 있다" 정도로 하겠습니다. (그게 그건 것도 같네요) 그런데, 양자역학으로 가면 또 달라집니다. 운동방정식 자체가 field equation이죠. 제가 양자역학을 별로 좋아하지 않아서(잘하지 못 해서), 이 부분은 넘어가겠습니다. 이제 chaos로 넘어가서, chaos는 수학적으로 엄밀하다기보다는 현상론적(?)으로 정의하는데, 가장 중요한 정의는 "초기조건에의 민감성" 입니다. t=0에서 (x, p)로 이루어진 phase space에서 a, b(=a+아주 작은 값)의 상태에 있던 두 놈이 임의의 시간이 흐른 후에 보니, a', b'에 가 있는데, b'이 a'의 근처에 있지 않더라. 뭐 이런거죠. "근처에 있다"라는 말은 수학적으로 엄밀하게 정의할 수 있지만 여기서는 생략하겠습니다(기억이 안 납니다. 묻지 마셔요) 위의 말을 양자역학적으로 바꾸면, t=0에서 A, B 상태에 있는 놈들을 측정해보니 a, b(=a+아주 작은 값)이었는데, 임의의 시간이 흐른 후에 보니, A', B'의 상태에 있었고, 측정값은 a', b'이었고, 두 놈이 가까이 있지 않더라. 이렇게 되는거죠. 여기서 유심히 보고, 고민해야하는 부분이 두 개 있습니다. 1. "측정"을 한다는 것이죠. 2. 임의의 아주 작은 값에 대해서도 성립해야한다는 것이죠. (그 와중에, phase space에서의 값이니 더욱 황당하죠) 이리하야 quantum chaos는 고난의 길을 걷기 시작했습니다. 현재 어디까지 왔는지는 잘 모르겠습니다. 키즈에 아는 사람이 있긴 있을텐데... 꼬마 :) |