| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): solarity (Whitehole) 날 짜 (Date): 2007년 12월 14일 금요일 오후 03시 02분 49초 제 목(Title): Re: [Q] 조밀성의 증명 a : irrational number N : set of natural numbers [x]: x의 소수부분 [aN]: {[an] | n is in N} [aN]이 조밀하다. proof] 결론부터 말씀드리면 inf([aN])=0임을 보이면 됩니다. 아래는 [aN]의 infimum이 0임을 보입니다. r=[a]라 합니다. [ka]=[kr] <= r/2 가 되는 k가 반드시 존재함을 보이면 inductive하게 [aN]의 infimum이 0임을 알 수 있습니다. 길이 r짜리 interval I1,I2,I3...로 [0,+infinity]에 공백없이 차례로 채우면 반드시 1과 만나는 interval Ip1 이 존재합니다. 1과 만나므로 Ip1은 1에 의해 두 개의 subinterval로 분리될 수 있는데 오른쪽 subinterval의 길이가 <= r/2이면 원하는 k=p1이고 그렇지 않다고 하면 왼쪽 subinterval의 길이 e는 r/2보다 작게 됩니다. 이 때 2에서 만나는 interval을 생각하면 이 인터벌은 2에 의해 분리된 왼쪽 subinterval의 길이가 2e가 되고 3에서 만나는 interval을 생각하면 3e < r이라고 하면 왼쪽 subinterval의 길이는 3e가 됩니다. 이런식으로 계속하면 언젠가는 어떤 자연수 n에 의해 나눠지는 인터벌의 오른쪽 subinterval의 길이가 e보다 작거나 같게 되는 경우 가 존재합니다. 이 인터벌을 Ip라고 하면 [pr]<=e<r/2임을 알 수 있습니다. 고로 원하는 k는 존재합니다. [aN]의 두 개의 원소 [a*n1]<[a*n2]를 생각했을 때, d=[a*n2]-[a*n1]을 생각하면 위 결과에 의해 [ka]<=d/2인 k가 반드시 존재하므로 [ka]N=[a]kN 중에는 [a*n1]<[a*r1]<[a*n2]인 원소 [a*r1]이 반드시 존재하고 이런식으로 계속 범위를 좁혀가면 [a*n1]과 [a*n2}사이에는 [aN]의 원소가 무한개 존재함을 알 수 있다. Q.E.D. |