| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): lontano (lontano) 날 짜 (Date): 2005년 12월 23일 금요일 오전 08시 00분 33초 제 목(Title): Re: probability quiz Problem 1. n번 시도 후에 탈출할 확률은 (1/2)^n. 소비한 시간은 3*(n-1) + 2 = 3*n - 1. 기대값은 \sum_{n=1}^\infty (3*n-1) (1/2)^n = 5. (무한급수 계산의 정확성에 대해서는 자신 없음 - -) Problem 2. 동전 던지기 m번. 앞면 확률 1/3, 뒷면 확률 2/3. (a) the expected number of changeovers 대충 찍어서... (m-1)*(4/9). (증명에 자신 없음) 2^m개의 가능한 모든 경우를 다 써보자. 1234......m HHHH......H HHHH......T . . . TTTT......T 1번과 2번만 비교하면 HH, HT, TH, TT가 모두 정확히 같은 갯수만큼 있다. 1번과 2번 사이에 changeover가 있으려면 HT 또는 TH라야 하므로 확률은 (1/3)*(2/3) + (2/3)*(1/3) = 4/9. k번째와 (k+1)번째가 서로 같으냐 다르냐는 (k+1)번째와 (k+2)번째가 같으냐 다르냐와 독립. 따라서 확률은 모두 같고 changeover가 들어갈 수 있는 자리는 모두 (m-1)개. (b) the probability that there is exactly one changeover 1) 앞면만 나오다가 뒷면만 나오기 HTT...TT HHT...TT ... HHH...HT 확률은 (1/3) (2/3)^(m-1) + (1/3)^2 (2/3)^(m-2) + ... + (1/3)^(m-1) (2/3) = \sum_{k=1}^{m-1} (1/3)^k (2/3)^{m-k} = (2/3)^m \sum_{k=1}^{m-1} (1/2)^k = (2^m - 2)/3^m 2) 뒷면만 나오다가 앞면만 나오기 THH...HH TTH...HH ... TTT...TH 1)과 똑같은 확률이므로 역시 (2^m - 2)/3^m 합하면 2*(2^m - 2)/3^m = 4*(2^(m-1) - 1)/3^m. |