| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): master (이 창 렬) 날 짜 (Date): 1995년05월09일(화) 21시12분43초 KST 제 목(Title): 원을 덮는 문제에 대한 답. 이 보드에 처음으로 들어왔읍니다. 쭉 살펴보니까 재미있는 문제가 나와있군요. :) 원을 그 원의 반의 지름을 갖는 원 몇개로 완전히 덮을 수 있는가하는 문젠데... 제가 생각하기에 답은 앞에 분들이 말씀하신대로 7개입니다. 증명은... 숫자를 좋아하는지라 숫자를 써서 해 봤어요... 먼저 큰원의 식을 다음으로 표시합니다. x^2 + y^2 = 4 ( 큰원의 반지름은 2라고 가정) 그리고 작은원은 이 큰원의 둘레를 따라서 배치하면서 그 갯수를 최소로 줄이는 것이 문제죠. 다시말하면, 큰원의 중심과 작은원의 중심이 어떠한 거리에 있을 때 작은원에 의해 가려지는 큰 원의 원호의 길이가 최대가 될 건가의 문젭니다. 즉, 작은원의 방정식은 다음과 같읍니다. (x-a)^2 + y^2 = 1 즉, 작은원은 x축상에 중심을 가진다고 가정합니다. (1<a<3) 문제는 a가 어떤값일때, 교점과 원점을 연결한 직선의 y값이 최대가 될 것인가 입니다. (물론 a가 한계값인 1이나 3일때는 교점은 한개만 존재, 즉 외접혹은 내접 으로, 이때의 y값은 0입니다. 그리고 1과 3사이의 어떤값에서 최대값을 가지죠. 근데, a가 어느값이상이 되면, 나중에 생기게 되는 중앙의 빈공간을 하나의 작은 원으로 덮지 못하는 문제가 발생합니다. 따라서 이를 제한할 a에 관한 요구 부등식 이 필요한데, 이는 일단 무시하기로 합시다.) 위 두 방정식을 연립하여 풀고, (x소거를 위해) y(a)를 구합니다. 그리고 이를 a에 관해서 한번 미분하여 y의 극값을 구합니다. 이때 구해지는 a값은 sqrt(3)입니다. 그리고 이때의 y값은 1, 다시 말해서, 큰원의 360도중 60도의 원호가 덮히게 됩니다. 따라서 360도를 완전히 덮기위한 작은원의 갯수는 6개입니다. 그리고 가운데의 빈공간을 덮기위한 또하나의 작은원이 필요하므로(이때 작은원 하나로 가운데 빈 공간은 충분히 덮힙니다. 그림을 그려보세요.) 도합 7개. 헤헤 ..... 해석기하적으로 한번 접근해 봤음니다. 맞겠죠? |