| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): dkkang (질투는내힘) 날 짜 (Date): 2001년 12월 5일 수요일 오후 03시 09분 30초 제 목(Title): 옛날에 나왔던 확률 문제 과거에 나왔던 확률 문제... 재미있게 봤었는 데... 오늘에서야 수업 시간에 배웠습니다. Bernoulli’s Saint Petersburg Paradox라고 불리는 거더군요. (또는 Petersberg라고 쓰는 사람들도 있습니다.) 해결책은 Utility Theory를 사용한다는 거더군요. 그 얘기는 안나왔길래 올립니다. http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/ http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/phisci/Gallery/D.bernoulli_note.html http://grace.wharton.upenn.edu/~opim101/spring97/handouts/utility1.ppt http://psych.colorado.edu/~psyc4135/JDM_Notes12.html 캡춰 ---------------------------------------------------------------- 이거 아주아주 옛날에 모 수업에서 모 교수님이 내주신 문제.. A와 B가 게임을 하는데. B는 동전을 던져서 앞이 나오면 멈추고 뒤가 나오면 또 던지고.. 즉 앞이 나올때까지 계속 동전을 던집니다. 그러면 B가 n번 던졌을 경우.. A는 B에게 2^n원 만큼을 줍니다. 근데 이 게임을 하려면... B는 일단 A에게 1000을 내고 해야 합니다. 흠냘... 생각같아서는 A가 한참을 이익볼 것 같은데... (B가 이익을 보려면 최소한 10번은 던져야 하니깐... 그러려면 뒷면이 9번 연속으로 나와야 하잖아요.) 기대값을 계산해 보면??? 흠... 그리고 결론이 의미가 있으려면... 도대체 게임을 몇번이나 해야 할 것인가... 뭐 이런 문젭니당 :) ---------------------------------------------------------------- 몇년전에 동아리 얘들이 이 문제를 가지고 상당히 고민했던 기억이 있는데요. 지금도 궁금해서리 생각이 나는 김에 올려봅니다. 동전 던지기를 하는데, 100만원을 내고 던집니다. 동전의 앞면이 나오면, 경기자는 다시 던질 기회가 있고, 이런식으로 계속해서 처음으로 뒷면이 나오면 경기는 종료됩니다. 그리고, 경기자는 2^(앞면이 나온수+1)만큼의 돈을 받게 됩니다. 결국 경기자는 2^1 * 1/2 + 2^2 * 1/2^2 .. = 1 + 1 + ... = 무한대 이렇게 되는거 맞죠? 그러니까 우리 옛날에 복권을 사느냐 마느냐문제를 확률을 적용해서 안사는게 이득이다 라고 했듯이 이 문제를 보면.... 100만원을 내고, 무한대의 이익을 얻을수 있으니까 결국 남는 장사니까 경기 하는게 남는것일 껏이다... 해서 경기 할사람은 아무도 없을텐데.. 어디가 틀렸습니까? 그리고 하나더, n원을 내고, 동전 m개를 던져서 모두 앞면이 나오면 x원을 준다고 합시다. 물론 안그럼 그냥 돈날리는 거고.. 1/2^m * x - (1 - 1/2^m) * n 이게 결국 기대값이 될텐데, 적당히 조정하면, 돈이 남게 할수 있겠죠? x를 m,n에 관한 함수로 나타내서 한 100억쯤 남도록 만들었다고 하고, 이제 n = 1억, m = 100개 이라고 하면, 이런 게임 할사람 아마 없을껍니다. 수학에서 말하는 기대값이라는 개념이 우리의 직관과 맞지 않는 겁니까? 아니면, 제가 엉터리로 산수를 쓴걸까요? ---------------------------------------------------------------- 그 경우는 확률의 법칙이 옳죠. 다만 기대값이 무한대라고 해서 그 돈을 빨리 건질 수 있다는 것은 아닙니다. 베팅할 수 있는 자본이 무한정 있고, 세월아 네월아 시간이 무한정 있다고 해보세요. 그런 경우에는 말씀하신 게임을 할만한 이유가 있습니다. 적은 확률을 갖는 드문 사건에 대한 보상이 많아서 기대값이 큰 경우에는 시행횟수가 많지 않은 경우에는 그 보상이 큰 경우가 일어나지 않고 대부분 피래미들만 걸리기 때문에 돈을 뽑을 수가 없습니다. 정말 많은 시행을 할 수 있는 자본과 시간이 있다면 물론 가능하죠. 이렇게 생각을 해 봅시다. 돈이 0원이 되면 게임을 끝낼 것이 아니라, 얼마든지 마이너스로 내려갈 수 있다고, 즉 돈을 얼마든지 하우스에서 빌릴 수 있다고 합시다. 아마 백만회~천만회 정도 시행하는 것은 컴퓨터 시뮬레이션으로 금방 해낼 수 있을 것 같은데요...그렇게 돌리면 결과가 어떻게 될 것 같습니까? 아마 백만회~천만회 정도 게임을 하면 처음의 엄청난 적자를 메우고 떼부자가 되어 있을 겁니다. 한번 해 보세요. 이 경우는 결코 패러독스가 아닙니다. ---------------------------------------------------------------- > 동전 던지기를 하는데, 100만원을 내고 던집니다. > 동전의 앞면이 나오면, 경기자는 다시 던질 기회가 있고, > 이런식으로 계속해서 처음으로 뒷면이 나오면 경기는 종료됩니다. > 그리고, 경기자는 2^(앞면이 나온수+1)만큼의 돈을 받게 됩니다. > 결국 경기자는 > 2^1 * 1/2 + 2^2 * 1/2^2 .. = 1 + 1 + ... = 무한대 계산은 분명 맞죠. 하시만 세상이 계산처럼 그렇게 돌아가지 않는게 문제죠. guest님이 경기자가 자본이 딸려서 안된다고 답하셨는데 더 큰 문제는 돈 주는 사람의 자본력(하우스라고 하죠)의 문제죠. 제 생각으로 그 게임의 기대값은 다음과 같습니다. 먼저 하우스에 돈이 얼마나 있을까요. 많아야 억대겠지만 1조를 가지고 있다고 합시다. 그렇다면 40번이 넘게 앞면이 나와도 결국 1조 밖에 못 받습니다. 그러니까 기대값은 41원이죠. 대부분의 복권 기대값이 50%인걸 감안한다면 한번에 100원이면 할만하겠네요. ---------------------------------------------------------------- 쿠엑, 제 의도는 자본이 딸린다는 얘기가 아닙니다. 시행 횟수가 적다는 거죠. 어떻게 가정을 바꿔놓아도 마찬가지입니다. 어차피 이상화된 상황이므로, 자본금도 많다고 하고 하우스의 부도 무한정이라고 합시다. (그리고 문제는 그것을 간접적으로 가정하고 있습니다!) 그래도 만약 이 게임을 단 한번만 할 수 있다면 하시겠습니까? 저같으면 안합니다. 대신에, 만일 이 게임을 빚을 한없이 져 가면서 수천만 수억번을 할 수 있다면(그리고 그럴 시간이 있다면 :) 반드시 할겁니다. 제가 자본이 딸린다고 말한 이유는, 만약 빚을 지고는 게임을 계속할 수 없다면 처음에 돈을 많이 잃을 것이므로 금방 0원 밑으로 떨어져서 게임을 중단해야 하기 때문에 그렇게 표현했을 뿐입니다. '일단은 장부에 달아 놓고 정산은 1억회의 게임을 한 뒤에 하기로 하자'라는 계약이 있다면 예를 들어 이 게임은 상당히 해볼만한 것이 됩니다. 기대값이 높더라도, 심지어 무한대가 되더라도 그 기대값이란 그야말로 수많은 사람들이 1회씩 게임을 했을 때 얻을 돈의 평균입니다. 그 평균이 거의 한 사람에게 집중되어 주어지고 나머지 사람은 뜯기는 상황이라면 기대값을 보고 게임을 하는 것은 좋은 선택이 아닙니다. ---------------------------------------------------------------- 제 글은 왜 "실제로"는 게임을 하려는 사람이 없을까에 대해 현실적인면을 고려한 저의 견해입니다. 게스트님의 의견이 틀리다는게 전혀 아니죠. 하지만 두번째 답변은 좀 위험한 생각같네요. 이런 게임 어떨까요. 한번에 백만원씩이라고 치고 1억번을 합니다. 실제로 1억번을 할 수는 없을테니 컴으로 시뮬레이션을 하죠. 1억번 시행한걸 더한 액수가 백조가 넘을까요? 도박인데 받지도 못할 차용증서가 아닌 현찰이 오가야 할테니 이값이 백조가 넘으면 제가 만원을 드리고 아니면 만원을 받습니다. 이렇게 한다면 한번에 백만원이 아니라 천원으로까지 깎아 드릴용의가 있습니다. 1억번해서 더한게 천억만 넘으면 만원을 받으실 수 있습니다. 하실 의향이 있으신가요? ---------------------------------------------------------------- 어차피 제 주장은 시행횟수가 충분히 커지고 나면 넉넉히 이길 수 있다는 얘기였습니다. 수천만 수억번이라고 했지만 꼭 정확히 그 숫자를 염두에 두고 한 말은 물론 아니죠. 사실 저는 숫자감각이 형편없는 사람이라 제가 수억이라고 말하면 그게 대충 제가 생각할 수 있는 제일 큰 수입니다. 네. 1억은 적당한 시행 횟수가 아닙니다. 약간 시뮬레이션을 돌려봤는데, 물론 이 시행이 전형적인 결과일 가능성은 별로 없을 만큼 들쑥날쑥한 게임이지만, 1000원내기 한다고 치고 이렇게 나오네요: 100번 돌리니까: 1212원. 10000번 돌리니까: 150176원. 1000000번 돌리니까: 21005560원. 투입한 돈/뽑아낸 돈을 계산하면: 100번 돌렸을 때 : 82 10000번 돌렸을 때 : 66 1000000번 돌렸을 때 : 47 (모두 소숫점 아래는 무시) 흠냐, 시행 횟수를 100배 늘릴 때 마다 이 투입한 돈/뽑아낸 돈의 비율은 처음에는 16만큼 줄었고 다음에는 19만큼 주는군요. 이런 추세가 계속되어 이 비율이 등차수열로 감소하여 음수가 될 것 같지는 않지만서도(하하) , 웬만큼 확실한 것이 아니면 절대 호언장담하지 말라던 저희 할머니의 말씀을 따라 많이도 말고 약 10^80회 정도 이후로는 거의 돈 놓고 돈 먹기일 거라고 예측해 봅니다. 하여튼 제 얘기는 언젠가는 이길 게임이다라는 의도였습니다. ---------------------------------------------------------------- |