| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): kwangju (최광훈) 날 짜 (Date): 1994년10월31일(월) 19시35분31초 KST 제 목(Title): n-각형 문제에 관한 증명 먼저 n = 3일때는 1/4로 한홍희씨께서 증명해주셨고.. n > 3일때의 확률을 P(n)이라 할때, P(n) = P(n-1) + ( 1 - P(n-1)) * 1/8이다. 이를 설명하자면 일단 길이 1인 선을 잘라서 n-1각형을 만들수 있다면 역시 n 각형을 만들수 있기 때문이다. 면밀한 증명은 안해보았지만 직관적으로 그러하다. 직관적으로 n-1각형의 임의의 한변을 골라 그 변을 두개로 나눈다음 적절한 각 조절로 n각형을 만들수 있기 때문이다. 그래서 P(n-1).. 그런데 만일 n-1각형을 못만드는경우 즉, (1 - P(n-1))인 경우에는 반드시 적어도 하나의 변의 길이가 1/2이상인 변이 존재한다. 그러면 그 변을 나누어서 n각형을 만들어야하는데.... 그 변의 길이를 L이라하자. 1/2 <= L < 1 (1) 이 변을 두 변으로 나누었을때 두 변의 길이 모두 1/2 미만이어야 한다. 그래야 n각형을 이룰수 있다.(여기에 관한 면밀한 증명은 해보지 않음. 다만 직관에 의존) 그럼 나누어진 결과의 변의 길이를 각각 x, y라 하면 x + y = L (2) 0 < x, y < 1/2 (3) 세식 (1)(2)(3)을 조합하여서 보면 1/2 <= x + y (4) 1 > x + y 의 부등식 두개가 나오고, 또한 그 x, y의 범위가 (3)에 의해 주어졌으므로 (1)(3)(4)의 해당 영역을 빗금쳐보면 전체의 1/8이 됨을 알수 있다. 따라서 선분길이 L을 나누어서 n-1각형을 n-각형으로 만들수 있는 확률이 1/8이다. 일단 이 증명이 맞다면 길이 1임 선분을 나누어 n각형을 만들수 있는 확률은 P(n)이다. P(n) = 7/8 * P(n-1) + 1/8 n > 3 P(3) = n = 3 ** 여기서 증명을 면밀하게(혹은 맞게) 하기위해서는 앞에서 단지 직관으로 추측한 사실들을 증명하여야 한다. 1. n-1각형이 있을때 임의의 한변을 나누어 n-각형을 만들수 있다. 2. n-1각형을 못만드는 선분자름의 경우 반드시 1/2이상의 선분이 하나 존재한다. ~ |