| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pinkrose (슈퍼따라지) 날 짜 (Date): 1999년 5월 23일 일요일 오후 04시 00분 29초 제 목(Title): [답] thick coin 이문제 제가 generalized dice(정육면체가 아닌 주사위) 문제관련해서 만들어내었던 문제의 특수한 경우군요. 주사위를 던질때의 주사위의 angular momentum 하고 스피드,높이하고 밀접한 관계가 있습니다. 이론적으로 주사위를 던질때의 정확한 엥귤러모멘텀과 스피드를 콘트롤할수있으면 주사위의 어느면이고 나오게 콘트롤이 가능합니다. 설령, 렌덤한 효과가 들어간다고해도 그것이 오차한계내일경우 확률적으로 특정한면만을 계속 나오게 할수있습니다. 고로, 님이 내신문제는 ill posed problem 임을 증명했군요. ^^ 문제를 좀더 정확히 define 하지 않으면 확률적으로 아무런 의미가 없게됩니다. 그러나, 만약 문제를 다음과 같이 바꾸면 됩니다. 즉 주사위를 던질때(혹은 동전을 던질때의 변수들조차 uniformly random하다는가정하에서 동전의확률이 1/3씩나오게 하려면 어떻게 해야하겠는가? ) 만약 A가 동전의 앞면 B가 동전의 뒷면, C가 옆면이라면, 대칭에 의해서 (동전은 옆으로 던지는게 아니라 동전의 회전축과 동전의 시메트리 축과는 직교한다고 가정해야합니다. 안그러면 C로 언제나 떨어질 확률이 1이니까. 왜냐? 동전한면이 땅에 닫기만 하면 무조건 붙는다고했으니깐. ^^) 문제는 전에도 포스팅했던바지만, 모서리가 땅에 부닥치는경우의 물리적결과까지 계산해야하거든요. 이경우 동전의 엥귤러모멘텀이 결정적 역활을 합니다. 그러나 이런 복잡한 엥귤러모멘텀이 동전의 모서리에 의해서 토크로 변신, 동전이 기울어질려하다가 오히려 정반대쪽으로 기울어지는 현상등까지 설명을 하지않고 단순모델로 모델링을 할경우는 다음과같습니다. 동전도 결국옆에서 보면 직사각형인데, 이건 일반적으로 n각형이 주어질경우 각면이 떨어질 확률을 구하는문제로 일반화시킬수있습니다. 3각형일경우 어떻게 푸는지 설명하면 임의의 n각형일경우 어떻게 푸는지 알고리듬이 나오기때문에 삼각형에 대해서만 설명하겠습니다. angle이 각각 A,B,C인 2차원삼각형이 있고 이걸던져 주사위를 만든다고 가정할경우 만약 a,b,c 가 각각의 각의 반대편에 있는 면일경우 a,b,c,가 떨어질확률을 구해라. 엥귤러모멘텀에관한 복잡한걸 생략할경우 만약 꼭지점이 접지하는순간 무조건 무게중심쪽으로 삼각형이 기운다고 가정합니다. 무게중심은 각면의 이등분선위에 있기때문에 이점이 꼭지점을 접지시켜놓고 수평면과 수직한 선의 어느쪽에 있느냐에 따라 왼쪽으로 기울어지던가 오른쪽으로 기울어지던가 결정이됩니다. 만약에 꼭지점 A하고 변 a를 이등분한점 P를 연결할경우 BAP 하고 CAP라는각이 생깁니다. AP를 수평선과 수직으로 만들경우 그리고 A가 접지한경우 b나 c로 기우는 경우는 b:c = pi/2 - BAP: pi/2 -CAP 가나오거든요. 비슷하게 c:a , a:b나오는 ratio를 구할수있구요 요걸 노르말라이즈하게되면 a:b:c 가 각각나오는 확률을 구할수있게됩니다. 이모든게 각도 A,B,C로 표시가 가능합니다. 이거는 고삐리 수학이니까 생략하고요. 삼각형에서 1/3씩나오게할려면 A,B,C가 반드시 60도가 나오게 되어있습니다. 위의 동전문제는 직사각형가지고 하면되는데 a,b를 앞면뒷면이라고 하고 c,d를 옆면이라고하면, a:b:c+d: = 1:1:1 되게만들면 됩니다. 직사각형이야 무개중심이 중점이니까 그리고 직사각형의경우 임의의 삼각형이 세개의 변수(각도)가 필요했던것보다 하나적은 변수 (두개의 변의길이) 로 결정이되니까 오히려 삼각형문제보다 더쉽게 풀리는군요. 이런방식으로 임의의 n각형 generalized dice 문제가 풀립니다. 엔각형이 아니라 n면체의 삼차원 주사위경우도 역시 비슷하게 무게중심이 수직선상의 어느쪽으로 기우느냐에 따라 식이 결정되고 알고리듬은 비슷해집니다. 계산은 구챦으니까 다생략. ^^ 스스로 겸허한 마음으로 자 신을 낮춰 낮은 곳에 위치하고 당분간은 자신의 연못에 물을 채우기에 전념하라． 개구리토정비결에 나온말. |