| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): whiz () 날 짜 (Date): 1999년 3월 24일 수요일 오후 04시 18분 12초 제 목(Title): Re: [Q] 10 digits 주어진 수를 나란히 써서 a_0 a_1 a_2 ... a_9 이라고 하죠. 여기에서 a_i 가 i의 개수라는 것이 가정이죠. 따라서, i a_i \le 10 이 되어야 합니다. (***) 그렇지 않다면, 개수가 10을 초과하겠죠? 여기에서 a_5 \le 2 가 되는데, a_5 = 2 이면, a_i = 5, a_j = 5 인 i, j 가 존재하고, i 와 j 가 다섯 개, 5가 2개 이므로 모순이 됩니다. 따라서, a_5, ... , a_9 는 모두 1 이하이고, 딱 하나만 1일 수 있습니다. 그런데 a_5, ... , a_9 가 모두 0이라면, 0의 개수가 적어도 다섯 개이므로, a_0 는 5 이상입니다. 따라서, a_5부터 a_9 중에서 적어도 하나는 1이상이 되어야 하므로, 모순 ! 그러므로, a_5, ... , a_9 중 딱 한 개 a_k 가 1이고, 나머지는 모두 0이 됩니다. 이 사실에서 a_0 는 4 이상이 되고, a_1 은 1 이상이 되는데, a_1 은 2 이상이 됩니다. (이미 a_k 가 1이므로) 따라서 1이 될 가능성이 있는 숫자는 a_2, a_3, a_4, a_k 로 기껏해야 4개입니다. 역시 2가 될 가능성이 있는 숫자는 잘해야, a_1, ... , a_4 로 기껏해야 4개입니다. (***)에서 a_3 \le 3, a_4 \le 2 이므로, digit가 k인 수는 a_0 이 될 수밖에 없습니다. 즉, a_0 = k . 이제, 모든 digit를 더하면, sum i a_i = a_1 + 2a_2 + ... + 9a_9 sum a_i = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_9 가 되어야 합니다. 따라서, a_0 = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + ... + 8a_9 이 되는군요. 따라서, k = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + (k-1) 이므로, a_2 = 1, a_3 = 0, a_4 = 0 이 됩니다. a_2 = 1 즉 2가 하나 있어야 하므로, a_1 = 2 이어야 합니다. a_1부터 a_9까지 0은 모두 6개이므로, 6210001000 만이 유일한 정답입니다. |