| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pinkrose (개구리왕자) 날 짜 (Date): 1999년 2월 21일 일요일 오후 08시 55분 12초 제 목(Title): [강의] 통계란 무엇인가 10. 오늘강의는 Percolation Theory에 대해서. 퍼콜레이션이란 한마디로 Random Process다. 렌덤 프로세스란 무엇이냐면, collection of random variables를 렌덤프로세스라 한다. 결국 퍼콜레이션은 렌덤바리에블을 뭉텅이로 묶어논걸 말한다. 퍼콜레이션이론은 물리학에 있어서 Phase Transition, Difussion 등등을 설명하는데 좋은 모델이다. 수학에서는 보통 퍼콜레이션이라고 하지 않고, Random Process or Random Fields 란말을 사용한다. 물리학에서는 그반면 퍼콜레이션이라하는데, 물리학에서 지칭하는 퍼콜레이션은 수학적인 정의보다 무척 국소적으로 쓰인다. 가장 쉬운 퍼콜레이션에 대해 설명하기로 하자. n by n바둑판이 있다고 가정하고 바둑판의 조그마한 square는 0이거나 1둘중의 하나의 상태를 가진다. 0일 확률은 p, 1일 확률은 q=1-p. 만약 이조그만 바둑판을 C_{i,j} 라 지칭하면, C_{i,j} 는 Bernoulli Random Variable이라 지칭하고 C_{i,j} for all i=0..n,j=0..n을 바로 수학에서는 렌덤필즈, 물리학에서는 퍼콜레이션이라 지칭한다. 퍼콜레이션 모델은 모델일뿐 이것이 바로 열역학의 페이즈 변화그자체다라고 말할수는 없다. 아직도 퍼콜레이션에 대한 이론적으로 해결되지 못한문제가 많고 그러한점이 열역학에있어서 페이즈 변화문제가 완벽하게 설명되지 않고있는 이유가 아닌가한다. 퍼콜레이션에서 다루는 수학적 문제중 하나는 가장큰 클러스터에 대한 통계적분포나 특성을 구하는것이다. cluster 란 connected by an edge일경우 클러스터라 정의 할수있다. (클러스터의 정의는 어떠한 grid를 쓰는가에 따라 달라진다.) 예를들면, 110010010 100001000 100001100 이라는 랜덤필즈가 주어질경우 가장큰 클러스터는 11 1 1 이다. 1 1 11 이 가장큰클러스터가 아닌이유는 diagonally connected. 클러스터 넘버라는게 있는데, 정확한 값을 구하는것은 3차원이상에서 아직 미해결문제라고 물리학책들에는 나오는데 도저히 믿겨지지가 않는다. 퍼콜레이션 문제는 물리학문제라기보다는 명백히, 확률론, 컴비네토릭스관련문제이기때문이다. cluster number n(s)가 무엇이냐면 ( 임의의 n차원 Z^d grid에서. Z=set of integer) n(s) = the number of possible configuration of the cluster size s. 이거 명백히 컴비네토릭스에서 # of polynominos 구하는문제인데, 이게 unsolved problem 이라는데, 정말 그런지 이분야가 아니라서 잘모르겠다. 생각엔 n(s) 하고 n(s-1)하고 리커션을 만들수 있을것같이 보이는데... 클러스터 싸이즈에 관한문제뿐만 아니라 기타 다른 여러가지 클러스터에 관련된 여러가지 기하학적 성질들에 대해 연구를 할수가있다. 예를들면, cluster radius 등. 일반적으로 C_{i,j}는 각각 independent 하다고 보지만, (이게 제일 단순한 물리적 모델이기에) 꼭그럴필요는 없다. 인디펜덴트가 아닐경우는 클러스터에 대한 계산들이 너무 복잡해진다. 지난번에 냈던 오일러항(Euler Characteristic)의 평균치를 내는 문제가 있었는데, 그문제를 약간 변화시켜 가장큰 클러스터의 오일러항의 평균치를 내는문제로 바꿀수도 있을것같다. --------- 이번강의는 조금 specific한것같네요. 팬들의 저의 강의에대한 반응들이 생각보다 높고, 독자의 수준도 높은것같아서 앞으로는 이정도수준으로 specific해도 될듯싶네요. 좋은 아이디어나 건의있으시면 메일주시면 감사하겠습니다. 언제나 코멘트나 색다른 아이디어환영하구요. 다음번강의는 찬드라쎄카(노벨물리학상탄사람)의 중력계산이나, 와인버그의 우주질량덴스티에관한 가우스보넷정리를 이용한 가우스곡률측정법에 대해서 생각중. 제가하는강의 전부 "통계학"statistics 의 관점에서 접근하고있습니다. 제대로 인식되지 못한 통계라는 학문의 위대한 파워에대한 맛보기? 히히... They said "What sign can you give us to see, so that we may believe you?" |