| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): white (백두선생) 날 짜 (Date): 1999년 1월 5일 화요일 오후 06시 41분 37초 제 목(Title): [re] two envelopes ..... 흠.. 역시 확률문제는 논란이 많군요. 많은 이야기가 있어도 속 시원한 해설을 제공하신 분은 보이지 않고 있는 것 같습니다. 여기서 논의를 하시는 분들은 대체로 이 문제를 잘 알고 있기 때문에 간략하게 이야기를 하는 것 같습니다. 그래서, 저는 나름대로 해설을 붙여 보았읍니다. 읽어내려가다가 보니 악명높은 'Monty Hall'과 비교되는 부분도 나오고 하니 말입니다....... Case I) 봉투 A에 x원이 들어있고, 봉투 B에 2x원이 들어있다고 가정합시다. 봉투 A를 선택하는 사건을 A,봉투 B를 선택하는 사건을 B 라고하고, 무조건 바꿀 경우에 대하여 확률을 구해보면, 처음에 어느하나를 선택할 확률 P(A) = P(B) = 1/2 , A를 선택했을때 바꾸어서 B를 선택할 확률 P(B|A) = 1, A를 선택했을때 바꾸어서 A를 선택할 확률 P(A|A) = 0, B를 선택했을때 바꾸어서 A를 선택할 확률 P(A|B) = 1, B를 선택했을때 바꾸어서 B를 선택할 확률 P(B|B) = 0, 최종적으로 바꾸고나서 A나 B를 선택하고 있을텐데, A를 선택하게될 확률은 P(A|B)*P(B) + P(A|A)*P(A) = 1/2 B를 선택하게될 확률은 P(B|A)*P(A) + P(B|B)*P(B) = 1/2 그러면, 기대값은 얼마가 되어야 합니까? A를 선택하는 경우에는 어쨌든 최종 금액은 x 이고, B를 선택하는 경우에는 어쨌든 최종 금액은 2x 이니 1/2 * ( x + 2x) = 1.5x가 되겠군요..... 무조건 바꾸는 전략이 무조건 안바꾸는 전략과 동일한 결과를 줍니다. Case II) 'Monty Hall' version 봉투 A에 x원이 들어있고, 봉투 B에 2x원이 들어있다고 가정합시다. 처음에 어느하나의 봉투를 선택하면, Monty가 다른 봉투의 돈을 선택된 봉투의 돈의 두배가 되게 하거나, 혹은 절반이 되게 재 조정을 한다. 그리고, 바꿀 기회를 준다. 이때, 바꾸는 것이 유리할까요? 안 바꾸는 것이 유리할까요? 이 경우는 무조건 바꾸는 전략이 유리하겠죠! Case1과 Case2를 비교해보면, 차이점이 좀 뚜렷해질 것 같습니다. Case1에서는 처음에 x를 선택하면, 남은 것은 2x만 가능하고, x/2는 가능하지 않습니다.그런데, 마치 x/2가 가능한 것 처럼 현혹하고 있읍니다. 마찬가지로,처음에 2x를 선택했으면 x는 가능하지만, 4x는 가능하지 않은데 가능한 것처럼 현혹하고 있읍니다. 왜냐하면, sample space는 이미 정해져 있어서 선택한 것을 열어본다고해서 변할리가 없기때문입니다. 그러나, case 2에서는 모두다 가능합니다. 왜냐하면, 선택한 봉투를 열어보고나서 sample space에 변형이 가해지기 때문입니다. 다시 말해서, 하나의 봉투를 선택했을때, 나머지 봉투의 돈이 두배이거나 절반일 확률이 각각 1/2이라는 이야기는 case2의 경우에는 정확한 이야기지만, case1의경우에는 정확하지 못한 이야기죠... P(A|B) 나 P(B|A) 둘중의 하나일 것이라는 정도로 해석 할 수 있겠지요. 그럼 이만.... |