| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) <130.132.186.138> 날 짜 (Date): 1998년 9월 14일 월요일 오후 02시 53분 22초 제 목(Title): Re: [담기]Re: 이런 문제는..... 이런 종류의 문제는 일단 자연수로 분해된다는 제한을 없애고 실수 범위에서 생각하는 것이 쉽습니다. Lagrange multiplier나 하여튼 기타 등등의 방법으로 생각해 보면 곱이 일정한 값으로 정해져 있는 n개의 양수의 합 x_1+x_2+x_3+...+x_n은 x_i들이 모두 서로 같을 때 최소가 됩니다. 최대값은 없습니다. x_n만 남기고 나머지의 x_i들을 거의 0에 가깝게 만들면 곱이 일정하기 위해서는 x_n이 무지막지하게 커집니다. 모두 합하면 앞의 x_i들은 별로 기여하는 것이 없지만 x_n이 엄청나게 합을 키워주기 때문에 얼마든지 커지죠. 근데, 예를 들어 제한 조건을 두면 어떻게 될까요? 앞에서 합이 얼마든지 커질 수 있었던 이유는 x_i들을 충분히 0에 가깝게 보낼 수 있었기 때문이었습니다. 만일 모든 x_i들이 어떤 d라는 양수보다 더 작아질 수 없다는 조건이 있다면? 이 경우에는 boundary에서 최대값이 생길 겁니다. (boundary가 아니라면 Lagrange multiplier 방법에 의해 포착되었을 것이니까) 즉 어떤 x_i는 d에 도달해야 합니다. x_1=d라고 놓읍시다. 이제 나머지 x_2,...,x_n에 대해 생각하면, 역시 그들도 일정한 곱을 갖고, d 이상이라는 동일한 조건을 만족합니다. 역시 boundrary에서 최대값이 생겨야 합니다. 또 다른 어떤 x_i도 d에 도달해야 합니다. 결국 이런 식으로 계속하면 x_i들은 하나만 빼놓고 다 d이고 나머지 하나는 아까의 곱/d^(n-1)이 되어야 할 것입니다. 이게 최대죠. 분해되는 수들이 자연수인 경우는 간단치가 않은 것이, 어떤 곱에 대해서는 앞에서처럼 x_i들이 모두 같으면서 자연수일 수 없는 경우가 생기죠. 최대값의 경우에는, 앞에서 d=1인 경우로 해당하므로 실제로 자연수로 분해할 때 이 경우를 만족시킵니다. 잘 되었죠. 앞에서 사전식 순서의 경우에는, 제일 작은 수 x_1이 위에서의 d와 같은 역할을 합니다. x_2,...,x_n은 모두 x_1 이상이니까요. 따라서 이 경우 x_1의 함수로 가능한 최소값과 최대값을 정확히 구할 수 있습니다. 최대값은 x_2,...,x_n중 하나만 빼고 모두 x_1인 경우에, 최소값은 x_2,...,x_n이 모두 같은 경우에 생깁니다. 이제 x_1을 '살짝' 더 큰 x_1+e로 놓았을 때 x_1에서의 최소값과 x_1+e에서의 최대값을 비교해서 부등호가 뒤집히게 되도록 만들면 됩니다. 그러나 문제는 변수들이 모두 이산적이기 때문에 '살짝' 늘린다는 것이 어렵다는 거죠. 이 문제는 변수를 살짝 늘리는 대신에 곱을 엄청나게 키우면 해결됩니다. 그렇게 해서 반례를 쉽게 찾을 수 있습니다. 유사한 문제로는 이런 것이 있죠. x_1,...,x_n은 자연수입니다. 그들을 모두 더하면 합이 S라는 것이 알려져 있습니다. 이때 이들의 곱은 얼마나 커질 수 있을까요? S라고 하기 싫으면 일단 구체적으로 S=1998이라고 놓읍시다. :) |