| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): iLUSiON (BBiZi Land) 날 짜 (Date): 1998년 5월 29일 금요일 오전 05시 01분 23초 제 목(Title): geometry 4. 3번문제와 비슷한 일반화된 주사위 문제입니다. 이번에는 2차원상에서의 주사위를 생각해봅시다. 문제: 2차원상에서 반지름 1인 원을 반으로 잘라 반원형 모양의 주사위를 만들자. (윷놀이에서의 나무때기들을 상상하면 됨.--나무때기 이름이 멉니까?) uniform density distribution이라 가정할경우 그리고 던질때 --혹은 떨어트릴때 절대로 angular momentum을 주지않는다고 가정할경우 그리고 떨어뜨릴때의 orientation은 원점을 중심으로 angle에 대해 uniform distribution [0,2pi] 라 할때 주사위가 앞으로 자빠지거나 뒤로 어퍼지는 확률을 구하시오. Note: 이걸로 베르누이 분포를 시뮬레이션 할수있겠군요. ^^ 이문제에서 엥귤러 모멘텀을 안준이유는 ? 계산이 쉬어지니까. 엥귤러 모멘텀을 줄경우 확률분포는 다르게 나옵니다. 엥귤러 모멘텀이 들어가면 변수가 오리엔테이션, 엥귤러 모멘텀 해서 두개가 나오고 결국 probability measure를 2차원상에서 정의해야 한다는 소리거든요. 문제가 전혀 달라집니다. 이문제는 생각보다 존나리 쉽습니다. 3번문제는 저도 좀 어렵게 느껴지는군요. (내가 문제만들고 잘하는 짓이다. 우히히..) 하지만 답은 직관적으로 뻔합니다. --- 불가능. 계산없이 대충 설명하면 다음과 같은 이유입니다. 이미 정사면체에 시메트리가 있고 1/4씩 확률이 나눠집니다. 만약 한귀퉁이를 잘라 5면체를 만들경우 그리고 suppose 이 오면체역시 1/5로 확률이 나눠진다고 가정한다면 당연히 center of mass가 각면에서 같은 거리만큼 있어야 합니다. 그러나 불가능. - hence 정사면체의 한귀퉁이를 잘라서는 결코 1/5씩주는 주사위를 못만듭니다. 주사위 문제의 진수는 엥귤러 모멘텀을 줄경우에 대한 2차 확률메져에 대해서인것 같습니다. 이경우 무게중심은 대단히 중요한 역활을 합니다. 왜냐면 주사위에 가해지는 위치에너지 + 회전운동 에너지가 결국 각면의 확률을 결정합니다. 이경우 주사위는 일반적으로 위치에너지를 가장 낮게 만들어 안정을 취하려 합니다. 그래서 주사위의 무게중심은 일반적으로 던지면 가장 낮은 위치를 차지하려 합니다. 그러나 예외가 있긴 있지요. 히히..다음의 정리를 증명해봅시다. Theorem: 임의의 n개의 면을 가진 다면체가 있을경우 n개의 면에서 무게중심까지의 거리가 모두 같을경우 이 다면체 주사위의 각면은 1/n 의 확률을 가진다. conjecture라고 해야하나? 아직 증명을 안했으니깐? 흠... 컴퓨터로 시뮬레이션 하면 재미있겠는데 상당히 복잡하겠군요. 폴리곤 회전시키는것도 버벅댈텐데 다면체의 m개의 점을 3차원상에서 회전 시켜야 하고, 평면에 도달한 순간의 회전 모멘텀을 구해서 다면체가 굴러다니는걸 시뮬레이션 해야 할테고... 나중에 교수되면 이거 학생들한테 확률적으로 시뮬레이션 하는거 프로젝트로 내야징. 우히히... * 나는 키즈를 파멸시키기 위해 멍멍이 아지와 함께 이땅에 태어났다. http://www.math.mcgill.ca/~chung |