| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pomp (위풍당당) 날 짜 (Date): 1998년 5월 26일 화요일 오후 11시 48분 37초 제 목(Title): [퍼옴] 홀수 다면체 - han.sci.math 0 [ 16] 홀수면체 주사위. artist 1 [ 84] +-> Aaram Yun 2 [ 36] | `-> artist 3 [ 32] | `-> Aaram Yun 4 [ 13] | `-> Aaram Yun 5 [ 11] | +-> Aaram Yun 6 [ 7] | +->홀수면체 주사위. doolly 7 [ 18] | `-> Aaram Yun 8 [ 5] +-> Mike Lee 9 [ 29] +->홀수면체 주사위. siage 10 [ 88] | `-> Tay Cho 11 [ 7] `->홀수면체 주사위. (현실적 해답) artist 12 [ 32] `-> Tay Cho Lines 16 홀수면체 주사위. 12 Responses artist <artist@soback.kornet.nm.kr> at Nurigrim Newsgroups: han.sci.math 갑자기 주사위 생각이 나서말인데요. 홀수면체 주사위가 가능할까요? 보통 쓰는 주사위는 6면체지만 롤플레잉게임같은 경우에는 정4면체 부터 정20면체까지 주사위를 사용합니다. 이중에는 10면체 주사위도 있습니다. 정다면체는 아니지만 오각뿔 두개를 붙인 모양으로 만들어져 있습니다. (실제로는 조금 변화를 줘서 각면이 사각형입니다). 어쨌거나 짝수면체 주사위 모두 가능하겠죠. (2면체는 동전 ^^;) 각면의 모양과 크기가 같은 홀수면체 주사위가 있을 수 있을까요? -- 예술인 mailto:artist@soback.kornet.nm.kr Lines 84 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 1 of 12 Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> at Yale University, Math Dept. Newsgroups: han.sci.math artist <artist@soback.kornet.nm.kr> writes: > 갑자기 주사위 생각이 나서말인데요. > 홀수면체 주사위가 가능할까요? > 보통 쓰는 주사위는 6면체지만 롤플레잉게임같은 경우에는 > 정4면체 부터 정20면체까지 주사위를 사용합니다. > 이중에는 10면체 주사위도 있습니다. > 정다면체는 아니지만 오각뿔 두개를 붙인 모양으로 만들어져 > 있습니다. (실제로는 조금 변화를 줘서 각면이 사각형입니다). > 어쨌거나 짝수면체 주사위 모두 가능하겠죠. > (2면체는 동전 ^^;) > > 각면의 모양과 크기가 같은 홀수면체 주사위가 있을 수 있을까요? 되도록 기하를 안 쓰고 어떻게 해보려고 시도했는데, 그것만으로도 꽤나 제약 조건들이 있습니다. 일단 한 면이 n각형이라고 하고, 꼭지점의 갯수, 변의 갯수, 면의 갯수를 각각 v,e,f라고 합시다. 그러면 변의 갯수를 세어 보면: nf/2 = e 한편으로, 이제 꼭지점들이 v개가 있으니까 각각의 꼭지점에 번호를 매겨서 1,2,...,v라고 하고, i번째 꼭지점에서 뻗어나가는 변의 갯수를 e_i라고 합시다. 그러면 한 변은 정확히 두 꼭지점에서 뻗어나가므로 e_1+e_2+...+e_v = 2e가 됩니다. 즉, nf = 2e = e_1+e_2+...e_v 일단 위의 값은 짝수이고 f가 홀수이므로 n은 홀수입니다. 다음으로, e_i>=3이어야 하므로, nf = e_1+e_2+...+e_v >= 3v 이제 오일러 공식 v-e+f=2를 써서 v=2+e-f라고 표현하면, nf >= 3v = 3(2+e-f) = 3(2+nf/2-f) 정리하면 (3-n/2)f >= 6이 됩니다. 이 공식에서 n은 6 미만의 짝수이므로 n=4만이 답입니다. 그리고 n=4를 대입하면 f>=6. f는 홀수이므로 f>=7. 즉 한 변은 4각형이고, 면의 갯수는 7 이상의 홀수임을 알 수 있습니다. 그리고, e=nf/2=4f/2=2f, v=2+e-f=f+2가 됩니다. e_i=3이 가능한 e_i의 값의 최소입니다. k개의 꼭지점에서 e_i=3이라고 합시다. 그럼 나머지 v-k=f+2-k개의 꼭지점에서는 e_i>=4입니다. 그러면, 4f = e_1+...+e_v >= 3k + 4(f+2-k) 정리하면 k>=8이 됩니다. 즉, 최소한 8개의 꼭지점에서는 정확히 세 개의 면이 만납니다. 세개의 변이 만나는 꼭지점을 하나 생각합시다. 그 세개의 꼭지점의 길이가 모두 다르다고 하면, 그 변들을 각각 a,b,c라고 합시다. ` a ` `______c / / /b 근데, 위의 그림을 보면 변 a에 접하는 것은 변 b, c입니다. 또한 변 b에 접하는 것은 변 a,c입니다. 그러므로, 이 그림에서 각 ab가 놓여 있는 면을 완성하면 /` c/ `a / `______c ` / c` /b `/ 즉, 길이가 변 c와 같은 것이 두 개 있습니다. 그러나 앞의 그림이 a,b,c에 대해 대칭이었다는 것을 상기하면, 같은 이야기를 a,b에 대해서도 할 수 있으므로 모순입니다. 그러므로 세 개의 변이 만나는 경우에는 그중 최소한 둘은 길이가 같아야 합니다. 또한 그러한 경우가 최소 8개나 있으므로, 주사위의 한 면에서 인접하는 한 변은 같은 길이를 가져야 합니다. 모든 변의 길이가 같은 경우는 정다면체가 다섯 가지밖에 없으므로 불가능하고, 변의 길이가 a,a,b,c, 또는 a,a,b,b의 두 가능성밖엔 없겠네요. 사실은 이런 제한된 조건을 갖는 주사위가 없음을 보였으면 좋겠는데 여기서부터는 길이나 각에 대한 정보가 좀 더 실제적으로 쓰여야 할 것 같다는 불길한 예감이 드는군요. Lines 36 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 2 of 12 artist <artist@soback.kornet.nm.kr> at Nurigrim Newsgroups: han.sci.math Aaram Yun wrote: > /` > c/ `a > / `______c > ` / > c` /b > `/ > > 즉, 길이가 변 c와 같은 것이 두 개 있습니다. 그러나 앞의 그림이 a,b,c에 대해 > 대칭이었다는 것을 상기하면, 같은 이야기를 a,b에 대해서도 할 수 있으므로 > 모순입니다. 그러므로 세 개의 변이 만나는 경우에는 그중 최소한 둘은 길이가 > 같아야 합니다. 또한 그러한 경우가 최소 8개나 있으므로, 주사위의 한 면에서 > 인접하는 한 변은 같은 길이를 가져야 합니다. 한꼭지점에 각기 다른 길이의 세변이 만나는 것은 가능하다고 봅니다. a,a,b,c의 사각형 6개로 6면체를 만드는 경우에 사각형 세개를 a-a로 붙여서 삼각뿔 형태로 두개를 만들어 붙이는 경우 양끝은 a-a-a이고 중간의 6개의 꼭지점의 경우는 a-b-c가 됩니다. > 모든 변의 길이가 같은 경우는 정다면체가 다섯 가지밖에 없으므로 불가능하고, > 변의 길이가 a,a,b,c, 또는 a,a,b,b의 두 가능성밖엔 없겠네요. 마름모꼴도 있으니 모든 변의 길이가 같은것도 더 생각을 해봐야 할것같네요. > 사실은 이런 제한된 조건을 갖는 주사위가 없음을 보였으면 좋겠는데 여기서부터는 > 길이나 각에 대한 정보가 좀 더 실제적으로 쓰여야 할 것 같다는 불길한 예감이 > 드는군요. 불가능하리라는 심증은 가는데... 어쨌거나 좀더 정리를 해보면 어렵지 않게 증명이 될것도 같네요. -- 예술인 mailto:artist@soback.kornet.nm.kr Lines 32 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 3 of 12 Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> at Yale University, Math Dept. Newsgroups: han.sci.math artist <artist@soback.kornet.nm.kr> writes: > 한꼭지점에 각기 다른 길이의 세변이 만나는 것은 가능하다고 봅니다. > a,a,b,c의 사각형 6개로 6면체를 만드는 경우에 > 사각형 세개를 a-a로 붙여서 삼각뿔 형태로 두개를 만들어 붙이는 경우 > 양끝은 a-a-a이고 중간의 6개의 꼭지점의 경우는 a-b-c가 됩니다. > > > 모든 변의 길이가 같은 경우는 정다면체가 다섯 가지밖에 없으므로 불가능하고, > > 변의 길이가 a,a,b,c, 또는 a,a,b,b의 두 가능성밖엔 없겠네요. > > 마름모꼴도 있으니 모든 변의 길이가 같은것도 더 생각을 해봐야 할것같네요. 헉, 그렇군요. 왜 이런 실수를 했지... 근데 일단 v=f+2,e=2f에다가 각 면이 사각형인 `그래프'를 찾는 것도 쉽지가 않은데요, 실제로 그 그래프를 합동인 사각형의 면을 가진 정 f면체로 만들어내는 것은 고사하고. 시험 삼아 손으로 f=7일때를 시도해 보았는데 잘 되지 않았습니다. f=7인 경우는 기하 이전에 조건을 만족하는 그래프 자체가 없는 것 같네요. 일단 그래프라도 하나 만들어 내었으면 좋겠는데, 컴퓨터를 돌려야 하나.... 저 말고도 많은 분들이 실수를 하시는군요. 기쁩니다. ;) 일단 이 문제는 artist님이 매우 잘 정의를 해서 주셨는데, 각 면이 정다각형으로 제한되어 있지 않습니다. 그러므로 정다면체의 분류 정리의 적용을 받지 않습니다. (저는 아까 마름모를 제거하려고 시도하면서 이걸 써먹었는데 마름모는 정다각형이 아니지요... :() 다음으로 각 면이 모두 합동이어야 하므로, 정육면체의 한쪽을 깎아내는 것은 안됩니다. 오목다면체가 허용되어야 할까요? :) 이 조건을 넣어도 존재하지 않을 것 같다는 생각이 듭니다만, 최소한 존재한다고 해도 주사위로 써먹지는 못하겠지요. Lines 13 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 4 of 12 Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> at Yale University, Math Dept. Newsgroups: han.sci.math 한 가지 매우 간단한 사항을 못 보고 있었습니다. a,a,b,c형태는 불가능합니다. 이유는 매우 간단합니다. 아까 처음에 nf/2=e라고 해서 변의 총 갯수를 센 것과 같은 방법에 의합니다. 만일 네 변 중 하나가 다른 어떤 변과도 다른 길이를 가지고 있다고 합시다. 예를 들어 a<b<c이고 사각형의 네 변의 길이가 a,a,b,c라든가... 그러면 이제 b라는 길이를 갖는 변이 모두 몇 개나 되는지 세어 봅시다. 한 개의 사각형이 1개씩 그러한 변을 제공하니까 일단 1*f, 그러나 이렇게 세면 두 면이 만나서 길이가 b인 변을 이루기 때문에 두 배로 센 셈이므로 실제의 답은 f/2가 됩니다. f가 홀수이므로 이렇게 될 수는 없습니다. 그러면, 결국 남는 가능성은 마름모, 또는 a,a,b,b꼴로 된, 한 대각선을 기준으로 대칭인 도형(이것의 정식 이름이 있습니까?), 이 두 가능성 밖에 없습니다. Lines 11 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 5 of 12 Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> at Yale University, Math Dept. Newsgroups: han.sci.math 최소한 그런 그래프가 있다는 것은 알았습니다. 웹 서치를 했지요. :) 알타비스타에다가 'odd number of faces'라고 집어넣어서 찾은 겁니다. -_-; http://www.li.net/~george/virtual-polyhedra/canonical.html 여기에 보시면 중간에 있는 그래프가 그러한 도형인데, f=9인 경우입니다. 물론 각 면은 사각형으로 되어 있고요. 이것이 제일 간단한 경우일 것이라고 그 웹 페이지에 적혀 있는데 아마 맞을 겁니다. 이것이 정말로 각 면이 합동이 되도록 실현될 수 있는지는 잘 모르겠습니다. Lines 7 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 6 of 12 doolly@plaza1.snu.ac.kr at Seoul National University, Republic of Korea Newsgroups: han.sci.math Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> wrote: > 그러면, 결국 남는 가능성은 마름모, 또는 a,a,b,b꼴로 된, 한 대각선을 기준으로 > 대칭인 도형(이것의 정식 이름이 있습니까?), 이 두 가능성 밖에 없습니다. 우리말로는 특별한 이름이 없는 것 같고, 영어로는 kite(연, 鳶)라고 하죠. Lines 18 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 7 of 12 Aaram Yun <aaram@photon.hgs.yale.edu> at Yale University, Math Dept. Newsgroups: han.sci.math 심심할 때마다 계산을 좀 했는데, 아마 마름모로는 홀수 다면체를 만드는 것이 불가능할 것 같습니다. 증명은 마름모들이 어떻게 만나서 어떤 각을 이루는지를 국소적으로 계산하는 방법을 사용합니다. 무대뽀 계산입니다. 계속 사용하는 아이디어(라고 할 것까지도 없지만서도)는 `단단함'입니다. 세 개의 마름모가 강철로 만들어져 있다고 하고, 그 셋을 세 개의 경첩을 사용해서 연결한다고 가정합시다. 경첩에는 기름이 잘 칠해져 있어서 매끈하게 움직이는 경첩입니다. 하지만 이 셋을 그렇게 연결하고 나면 이 마름모 셋은 단단하게 굳어집니다. 즉 어떤 경첩도 더 이상 움직이지 않습니다. 이런 경우 그 세 마름모의 변들의 모든 상대적인 위치와 각들이 완전히 결정되어 버립니다. 이런 형태가 나타날 때마다 그것이 다른 각들과 잘 맞아 떨어지는지를 확인할 수 있습니다. 자세한 계산은 다 정리가 되면 다시 올리도록 하겠습니다. :) 근데 워낙 노가다라서...regular polytope을 분류하거나 dynkin diagram을 분류하거나 하는 식의 뭔가 깔끔한 테크닉이 있으면 좋겠는데 그런 것이 가능할지 모르겠군요. 마름모도 꽤나 계산이 복잡해서 연(kite :)을 가지고 이런 일을 다시 하려면 얼마나 귀찮을지 한숨이 다 나옵니다. -_-; Lines 5 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 8 of 12 Mike Lee <mikeswlee@yahoo.com> at Korea Telecom Newsgroups: han.sci.math 불가능함. 정다면체는 정4, 6, 8, 12, 20면체 외에는 존재하지 않음이 이미 증명되었음. (중학교 수학책에 있음) Lines 29 Re: 홀수면체 주사위.RespNo 9 of 12 siage@theo71.postech.ac.kr at System Engineering Research Institute (SERI) Newsgroups: han.sci.math artist <artist@soback.kornet.nm.kr> wrote: > 갑자기 주사위 생각이 나서말인데요. > 홀수면체 주사위가 가능할까요? > 보통 쓰는 주사위는 6면체지만 롤플레잉게임같은 경우에는 > 정4면체 부터 정20면체까지 주사위를 사용합니다. > 이중에는 10면체 주사위도 있습니다. > 정다면체는 아니지만 오각뿔 두개를 붙인 모양으로 만들어져 > 있습니다. (실제로는 조금 변화를 줘서 각면이 사각형입니다). > 어쨌거나 짝수면체 주사위 모두 가능하겠죠. > (2면체는 동전 ^^;) > 각면의 모양과 크기가 같은 홀수면체 주사위가 있을 수 있을까요? > -- > 예술인 > mailto:artist@soback.kornet.nm.kr 간단이 정육면체의 한 꼭지점만 잘라내면 면은 7개가 됩니다. 문제는 주사위의 눈을 읽는 문제인데, 그건 바닦에 깔려있는 면을 읽도록 규칙을 바꾸면 되겠죠. :) -- Ph.D. Dong-Hwa Oh, Theoretical, Informational and Computational Chemistry Lab., Center for Biofunctional Molecules, and Center for Superfunctional Materials, Pohang University of Science and Technology homepage: http://chem.postech.ac.kr/~siage Lines 88 Re: 홀수면체 주사위. RespNo 10 of 12 Tay Cho <taycho@iname.com> at Samsung Newsgroups: han.sci.math 주사위의 정의가 나와있질 않아서 혼란이 있는것 같군요 일단 정다면체일 필요는 없지만(위의 분은 정다면체에만 한정시켜서...) 각 면이 나올 확률이 모두 같아야겠죠? 거기다 여기에는 각 면의 모양과 크기가 같아야 한다는 제약이 붙어 있군요 먼저 각면이 나올 확률이 모두 같은 것을 주사위라고 얘기할 수 있다면 짝수면을 가진 주사위는 모두 가능하다는 것을 예로 든 10면체를 가지고 알 수 있습니다. 문제는 홀수인데... 첫번째로 홀수면을 가진 주사위가 있을 수 있을까요? 두번째로 이때 각 면의 모양과 크기가 같을 수 있을까요? 문제가 두개네요... 사실 여기두 약간 혼란의 여지는 있는 것 같지만... 생략하고.. 첫번째 문제는 바로위의 한쪽 모서리 잘라내기를 가지고 될것 같군요... 단 잘라낸 반대쪽 모서리를 중심쪽으로 이동시키든가 조금더 멀리 있게 해서 확률을 이쪽 4면것과 같게 할필요는 있겠군요... 아마 임의의 입체를 던졌을때 한 면이 나올 확률을 계산하는 것은 매우 어려울 것 같은데...(그런 분야가 없을거 같네요) 적절한 값을 잡아서... 이쪽이 더 크게 할 수도 있고 저쪽이 더 크게 할수도 있으니깐 중간 어딘가에는 모두 같도록 하는 뽀인트가 있다... 이런식으로 증명할 수 있지 않을까용??? 두번째껀.. 몰겠당.... 고럼. -- Cho Taehee Samsung Electronics S/W Center Lines 7 Re: 홀수면체 주사위. (현실적 해답) RespNo 11 of 12 artist <artist@soback.kornet.nm.kr> at Nurigrim Newsgroups: han.sci.math 동전으로 이면체를 대용할 수 있다면 n각기둥을 굴려서 홀수면체 주사위로 쓸 수도 있겠네요. -- 예술인 mailto:artist@soback.kornet.nm.kr Lines 32 Re: 홀수면체 주사위. (현실적 해답) RespNo 12 of 12 Tay Cho <taycho@iname.com> at Samsung Newsgroups: han.sci.math 현실적으로도 그렇고 n각기둥을 막대기처럼 길게 만들고 양쪽을 한면으로 만들면 사실 불가능하기는 해도 똑바로 설 가능성이 없는것도 아니니깐 거기에 아주 작은 n각뿔을 붙이는 식으로 하면 그 면이 밑으로 올 확률을 0으로 만들 수 있으니까 3n면체이되 n면주사위가 될 수있겠네요.... 각 면의 모양과 크기가 같은 홀수면체는... 글쎄요.. artist wrote: > 동전으로 이면체를 대용할 수 있다면 > n각기둥을 굴려서 홀수면체 주사위로 쓸 수도 있겠네요. > > -- > 예술인 > mailto:artist@soback.kornet.nm.kr -- Cho Taehee Samsung Electronics S/W Center ... & circumstance |