| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): Bigbang (이승우) 날 짜 (Date): 1998년 5월 5일 화요일 오후 11시 38분 22초 제 목(Title): Re: linear algebra 7 7번 솔루션은 무척 복잡하군요. 먼저 증명해야할 것이 행렬이 n.n.d에서 대각선 파트가 모두 0보다 크거나 같고, 즉 a_ii >= 0 또 a_ii=0 이면 그 a_ij=a_ji=0 이다라는 사실을 보여야 되는데, 말로 쓰기가 무척 힘들군요. 먼저 a_ii가 0보다 작다면, X= ( 0,0,..., 1 , 0, 0,0... ) ^ i번째, X'AX = a_ii >=0 야 되므로 a_ii<0 작다는 결과는 모순이 되고 ( X' 는 X^T 를 뜻 합니다), a_ii가 0이라면, 그 영벡터와 열벡터가 0이라는 사실이 보이면 되는데, 0이 아니라면, 임의 j에 대해서 다음과 같은 행렬을 다시 구성하면, ( a_ii a_ij ) ( a_ji a_jj ) 이것도 n.n.d이어야 되므로, 왜냐면 x_i,x_j만 값을 가지고 나머지는 0을 넣은 경우와 같은, a_ii이면 a_ij와 a_ji가 0이어야 된다는 사실을 쉽게 보일 수 있습니다. 하여튼 여기까지 증명되면 나머지는 그냥 나오는데, 먼저 B를 diagonalize시키고 그때 B를 B'를 표시하고 A를 A'으로 표시하면, Tr(AB)=sum_ik a'_ik b'_ik = sum_i a'_ii b'_i 가 되고, 따라서 a'_ii와 b'_i는 >=0이므로 위에 합이 0이 되기위해서는 a'_ii 나 b'_i 둘 중 하나가 0이어야 됩니다. 그러므로, A'B'=sum a'_ik b'_jk = sum a'_ij b'_jj b'_jj가 0이 아니면 a'_ij=0이야 되고 그러므로 A'B'=0 따라서 AB=0. ----------------------- leesw@phase.kaist.ac.kr 042-869-2560 |