| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): jccha (잊으면그만맧) 날 짜 (Date): 1998년03월07일(토) 02시45분36초 ROK 제 목(Title): Re: [문제] 고리 자르기 2 이미 누가 쓰셨듯이, 그런 link는 Brunnian link, 또는 almost trivial link 라고 부릅니다. n개의 component를 갖는 almost trivial link를 만드는 전형적인 방법은 다음과 같습니다. 풀린 (n-1)-성분 고리 L'을 xy평면에 놓고, 각 성분에 화살표를 그려 방향성을 줍니다. 거기에 나머지 한 component K를 겁니다. 2n-2개의 글자 x_1,x_1^{-1},...,x_{n-1},x_{n-1}^{-1} 으로 씌여진 word w가 주어지면, 이에 대응하여 K를 만들 수 있습니다. P=(0,0,1)에서 출발해, w의 첫 번째 글자가 x_i이면 xy평면상의 i번째 성분을 오른손법칙에 해당하는 방향으로 한번 걸고 다시 P근처로 돌아옵니다. x_i^{-1}이면, 왼손 법칙 방향으로 걸고 돌아옵니다. 다음은 w의 두 번째 글자에 따라 해당 성분을 다시 한번 걸고 돌아옵니다. 같은 방법으로 w의 각 글자에 해당하는 성분을 순서대로 걸고 돌아와 시작점과 이으면 w에 대응되는 K가 완성됩니다. 단, K 자체가 knotted되지는 않게 합니다. n-1차 commutator w=[x_1,[x_2,[x_3,...,[x_{n-2},x_{n-1}]...]]] 을 생각합시다. 단, [a,b] = a b a^{-1} b^{-1} 입니다. 그러면, 이 w를 이용해 위와 같은 방법으로 만든 n성분 고리는 nontrivial이지만 almost trivial입니다. 그 이유는요? 우선 w가 trivial word가 아니니까, nontrivial입니다. poin님이 말씀하신 alexander polynomial같은 불변량을 계산할 필요까지는 없지요:) 그리고, w에서 어떤 x_i라도 1로 놓으면, w의 모든 글자들이 상쇄되어 아무 것도 남지 않습니다. 따라서 almost trivial 입니다. 위상수학의 용어를 사용하면, S^3-L'의 기본군은 x_1,...,x_{n-1}에 의해 생성되는 자유군인데, n번째 성분은 n-1차 commutator로 나타내지는 루프라고 말할 수 있습니다. 이런 almost trivial 고리는 현대 매듭이론에서 종종 다루어집니다. 예를 들면, field 메달을 받은 적이 있는 J. Milnor는 almost trivial link 두 개가 주어졌을 때 이들이 과연 같은 놈들인지를 up to link homotopy로 완전히 알아낼 수 있는 불변량을 만들어냈습니다. 60?70?년대에 무려 Annals of Mathematics에 발표된 논문이지요. 참, 두 고리가 link homotopic 하다는 말은 어느 한 녀석을 같은 성분끼리는 엇갈려 지나가는 것은 허용하고 다른 성분끼리 엇갈려 지나가는 것은 절대 봐주지 않으면서 deform하여 다른 한 녀석으로 만들 수 있는 경우를 뜻합니다. 어쨋든, 이런 고리는 field 메달 받은 사람도 serious하게 연구하는 대상이라는 얘기죠. 제가 왜 여기 이런 글을 쓰고 있는지는 잘 모르겠습니다 :) |