| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (poin) 날 짜 (Date): 1998년01월29일(목) 17시06분10초 ROK 제 목(Title): 속빈 사면체...정답입니다. wiking 님의 답이 정답입니다. 사면체의 경우 cross product를 이용해 푸셨군요. wiking 님은 친절한 설명이 인색하시므로... 할수 없이 제가 친절히 설명해 올리겠읍니다. 3차원 공간에 세점 A,B,C 와 원점 O가 있을때... 사면체 OABC의 부피는 |det(A,B,C)* 1/6| 이 됩니다. (절대값) (벡터 A,B,C를 열로 써 준 행렬의 determinant.).......(*) 사면체 ABCD 의 내부에 원점 O가 있다. 그러면 사면체 ABCD는 사면체 OABC, OABD, OACD, OBCD 의 네개의 사면체로 나뉜다. 그럼 이 네개의 사면체는 원래 사면체의 내개의 꼭지점과 대응 된다. (한 꼭지점과 그 꼭 지점을 포한하지 않는, 즉 그 반대편쪽에 위치한 작은 사면체를 대응.) 그래서 그 깍깍의 사면체의 부피비를 a:b:c:d 라 하면... aA+bB+cC+dD=0벡터. 가 된다. 그리고 그 역도 성립한다.............................(**) (**)의 증명 aA+bB+cC+dD=0 이라 하자. 그러면 det(aA+bB+cC+dD,A,B)=0 그런데 좌변=c*det(C,A,B)+d*det(D,A,B)=0 이 되어... c:d=|det(D,A,B)| : |det(C,A,B)| 즉, 꼭지점 C,D 에 대응 되는 작은 사면체의 부피비= c:d 가 된다. 나머지 쌍들도 마친가지....(증명끝) (점 질량 여러개의 무게중심) 점 A,B,....,C 의 각각의 무게가 a,b,.....,c 라 하고 그들의 무게중심을 O(편의상 원점) 라 하면, aA+bB+,...,+cC=0 이 된다. 그러면 위 사실을 이용하면 속빈 사면체의 무게 중심을 구힐수 있다. 속빈 사면체의 무게중심은 각면의 무게중심에 그 면의 질량이 모여있을때... 그 점 질량들의 무게중심을 구하는것과 같다. 그런데 각면의 무게중심으로 만들어진 사면체는 원래 사면체와 닮음이다. (why?) 다시말해 이 문제는 사면체의 꼭지점에 그 각각의 대면의 넓이만큼 점질량이 주어졌을때...무게 중심을 구하는것과 같다. 그런데 원점을 이 사면체의 무게중심이되게 놓으면... 위에서 말한 작은 사면체 네개의 부피비는 사면체의 각면의 넓이비와 같다. 그러므로 무게중심은 각면으로 부터 같은 거리만큼 떨어져 있다. 고로, 속빈 사면체의 무게중심은 겉면들의 무게중심으로 만들어지는 사면체 의 내심이다. (끝) 그리고 일반적 차원의 경우도 같은 방법이로 증명된다. (detterminat의 정의와 그것의 multilinearlity를 알고 있으면...) 아참... 원점 O와 A,B,C,...D로 만들오지는 심플렉스의 부피는 det(A1,A2,...,An)* 1/n! 의 절대값이 된다. 그리고 위의 증명은 wiking님의 증명과 같다. 즉, 그는 매우 강적임을 알수 있다. 친절한 포인. |