| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): khjeong ( mathwhiz) 날 짜 (Date): 1997년11월12일(수) 22시02분59초 ROK 제 목(Title): Re: Silverman problem; 몇가지 고찰 언제 Silverman problem 이 풀릴까? 먼저 가능한 sequence 들을 찾아보자. 위에서 Ariel (논리) 님이 지적하신대로, n = k^2-1 (k=2,3,4,....) 꼴일 때는 Silverman problem 이 풀립니다. 1 2 3 ... n | | | ... | n n-1 n-2 ... 1 이 존재하니까요. 또, N이 Silverman problem 이 풀리는 값이라고 합시다. 그러면, n = k^2-(N+1) (단, n \ge N+1)도 풀립니다. 1 ... N N+1 N+2 .... n | ... | | | .... | * ... * n n-1 .... N+1 (단, 1에서 N까지 풀리므로, *는 풀린 값을 넣는다.) 따라서, n=l^2 - k^2 도 풀립니다. (단, l \ge \root(2) k ) 또한, 이 경우는 n=k^2 -1 을 포함합니다. 같은 방법으로, n=m^2 -(l^2 - k^2 +1)=m^2 + k^2 -l^2 -1 , (단, m \ge \root(2) \root(l^2 - k^2 +1), l \ge \root(2) k ) 도 됩니다. 특히, k=1 이면 우리가 아는 것으로 귀환. 한번 더? n=p^2 + l^2 - m^2 -k^2 (조건 어쩌구 저쩌구) 등등이 가능하죠? 이런 식으로 매우 많은 n에 대하여 위 문제가 풀림을 알 수 있다. 이런 식으로 얻어지는 일반꼴은 (a^2+b^2+...+c^2)-(p^2+q^2+...+r^2) (단, {a,b,...,c} 가 홀수개면 r=1.) Comment : 13은 이런 식으로 구하는 꼴이 아닌 것 같음. 당연히, k^2 - 14 , ... 등도 풀리겠죠? ------------------------------------------------------------- 답이 유일하지 않은 것들. Ariel님의 예는 528 = 23^2 - 1 = 25^2 + 2^2 - 10^2 - 1 로 설명할 수 있습니다. 이런 유일하지 않은 예는 무수히 많을 것으로 물론 짐작이 됩니다. 더 작은 예로는 n = 48 = 7^2 - 1 = 8^2 - 4^2 1 2 3 ...... 14 15 | 16 17 18 ...... 47 48 ---------------------------+------------------------------ 7^2-1 48 47 46 ...... 34 33 | 32 31 30 ...... 2 1 ---------------------------+------------------------------ 8^2-16 15 14 13 ...... 2 1 | 48 47 46 ...... 17 16 ---------------------------+------------------------------ 이 있습니다. l^2-m^2=p^2-q^2 는 답이 꽤 많죠? 물론, l \ge root2 m, ... 어쩌구 하는 조건하에서지만요. 아직도 완전한 해로 다가갈려면 멀었군요. -- I owe YOU the sunlight in the morning. |