| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): khjeong ( mathwhiz) 날 짜 (Date): 1997년11월08일(토) 20시08분52초 ROK 제 목(Title): Re: re:5+7+11+12+15+20=70 에구. 하루종일 너무 바빠서 짬을 내서 푼 데다가, 갑자기 접속이 안 되어서 고생했네요. guest(guest)님이 30분만에 풀었다니 존경스럽습니다. 전 2시간이나 했는데...... 자. 풀이 및, '해의 유일성'에 도전합니다. five seven eleven twelve fifteen + twenty --------- seventy 먼저 일의자리에서의 자리올림을 A, 둘째자리에서의 자리올림을 B, ..... C,D,E,F 라고 하자. 일의자리에서 2e+3n=10A 가 성립한다. 또 둘째자리에서 2v+3e+A=10B 가 성립한다. 따라서, e와 A는 parrity가 같다. (***) 먼저 n은 짝수임을 알 수 있다. n=2 N 이라 두면, (N=0,1,2,3,4) e + 3N = 5A 이 식과, (***) 식에서 N은 짝수. N=0 ==> n=0, e=5A N=2 ==> n=4, e=5A-6 N=4 ==> n=8, e=5A-12 A=1,2,3,4 이고, e가 한자리 수이므로, (n,e,A)=(0,5,1), (4,9,3), (8,3,3) 만이 가능하다. 각각의 경우에 둘째자리를 보면, 2v+16=10B ; 2v+30=10B ; 2v+12=10B 가 된다. 따라서, 가능한 (v,B)의 조합은 (2,2),(7,3); (0,3),(5,4); (4,2),(9,3) 이 된다. 다시 쓰면, n e v : B 0 5 2 : 2 0 5 7 : 3 4 9 0 : 3 4 9 5 : 4 8 3 4 : 2 8 3 9 : 3 이제 세째자리, 네째자리에서 l+i+2v+e+B=10C f+t+3e+C=10D 가 성립한다. n e v : B l+i+2v+e+B=10C; l+i : C 0 5 2 : 2 l+i+11=10C 9 2 0 5 7 : 3 l+i+22=10C 8 3 4 9 0 : 3 l+i+12=10C 8 2 4 9 5 : 4 l+i+23=10C 7 or 17 3 or 4 8 3 4 : 2 l+i+13=10C 7 or 17 2 or 3 8 3 9 : 3 l+i+24=10C 6 or 16 3 or 4 그런데 l+i=16, 17인 쌍은 {9,7}, {9,8} 뿐인데 모두 n,e,v 중에 있다. 따라서, n e v l+i : C f+t+3e+C=10D; f+t : D 0 5 2 9 2 f+t+17=10D 3 or 13 2 or 3 0 5 7 8 3 f+t+18=10D 12 3 4 9 0 8 2 f+t+29=10D 11 4 4 9 5 7 3 f+t+30=10D 10 4 8 3 4 7 2 f+t+11=10D 9 2 8 3 9 6 3 f+t+12=10D 8 2 f+t=3 은 {1,2}, {0,3} 만 가능한 데, n=0, v=2에 어긋난다. 따라서, n e v l+i f+t D 0 5 2 9 13 3 0 5 7 8 12 3 4 9 0 8 11 4 4 9 5 7 10 4 8 3 4 7 9 2 8 3 9 6 8 2 이제 남은 식은 2w+l+f+s+D=10E+v 2t+i+E=10F f+F=s 이다. 세째 식을 첫째 식에 대입하고, 둘째 식과 더하면 2w+(l+i)+2(f+t)+D-v=9(E+F) 가 된다. <== 요게 계산을 줄이게 했어요. 각각의 경우 계산하면, n e v l+i f+t D 0 5 2 9 13 3 2w+36=9(E+F) 0 5 7 8 12 3 2w+28=9(E+F) 4 9 0 8 11 4 2w+34=9(E+F) 4 9 5 7 10 4 2w+26=9(E+F) 8 3 4 7 9 2 2w+27=9(E+F) 8 3 9 6 8 2 2w+15=9(E+F) 왼쪽 변도 9의 배수가 되어야 하므로, n e v l+i f+t D w E+F 0 5 2 9 13 3 2w+36=9(E+F) 0 4 0 5 7 8 12 3 2w+28=9(E+F) 4 4 4 9 0 8 11 4 2w+34=9(E+F) 1 4 4 9 5 7 10 4 2w+26=9(E+F) 5 4 8 3 4 7 9 2 2w+23=9(E+F) 3 3 8 3 9 6 8 2 2w+15=9(E+F) 6 3 w가 n,e,v와 겹치지 않고 남는 것은 다음 세 가지 뿐. n e v w l+i f+t D E+F 0 5 7 4 8 12 3 4 4 9 0 1 8 11 4 4 8 3 9 6 6 8 2 3 세번째 경우 (n,e,v,w) = (8,3,9,6) 부터 따져보자. f+t=8 인 조합 중 n,e,v,w 를 포함하지 않는 조합은 {f,t} = {7,1} 뿐이다. f=7이면, s > f 에서 모순이 된다. (8,9가 있으므로) 따라서, f=1, t=7 이다. 그런데, s=f+F 에서 F=1,2,3이므로, s 는 2,3,4 중의 하나이다. l+i=6 이고, n,e,v 와 겹치지 않으려면, {l,i} = {4,2} 가 될 수 밖에 없다. 따라서, s가 2,3,4 임에 모순이다. 첫번째 경우 (n,e,v,w) = (0,5,7,4) 를 따져보자. f+t=12인 조합은 {3,9} {4,8} {5,7} 뿐이다. 이중 n,e,v,w와 겹침이 없는 것은 {3,9} 뿐이다. f+F=s에서 f는 9일 수 없으므로, f=3, t=9일 수 밖에 없다. (n,e,v,w,f,t)=(0,5,7,4,3,9) 이고 남은 식에 대입하면, 8+l+3+s+3=10E+7 18+i+E=10F 3+F=s 이다. F=1,2,3이므로, 안 겹치려면 s=6, F=3뿐이다. 이 때, 처음 식에서 l+13=10E 이므로, l=7이 되어 겹치게 된다. 따라서 이 경우는 탈락. 이제 남은 유일한 경우는 n e v w l+i f+t D E+F 4 9 0 1 8 11 4 4. 이 때, n,e,v,w와 겹치지 않는 것으로는 {l,i} = {2,6}, {3,5} {f,t} = {3,8}, {5,6} 만 가능한 쌍이다. 그런데, {f,t}={5,6}은 {l,i}와 항상 교집합을 가지므로 안됨. 따라서, {f,t}={3,8}이 되어 자동적으로 {l,i}={2,6}이 된다. f=8이면, s=f+F에서 F=1, s=9이어야 하는데 e와 겹친다. 따라서 f=3, t=8. (n,e,v,w,f,t)=(4,9,0,1,3,8) {l,i}={2,6} D=4 E+F=4 가 현재의 결론. 남은 식에 대입하면, 2+l+3+s+4=10E 16+i+E=10F 3+F=s. 남은 숫자가 5,7 이고, F는 3 이하이므로, s=5, F=2, E=2가 될 수 밖에 없다. 대입하면, i=2, l=6, 마지막 남은 y 는 7. 휴우. 결국 답이 유일함도 증명이 되었군. 3209 59094 969094 819609 3238994 + 819487 -------- 5909487 Comment : 역시 부정방정식은 약수배수논법, 범위제한이약이군요. -- I owe YOU the sunlight in the morning. |