| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) 날 짜 (Date): 1997년09월17일(수) 23시56분57초 ROK 제 목(Title): [답] 정육면체 분할 이상하게도 두번이나 올렸는데 또 지워졌군요. 혹시 누가 좀 캡쳐해주시지 않겠습니까? 정육면체를 유한개의 서로 다른 크기의 작은 정육면체로 분할하는 것은 불가능합니다. 증명은, 만일 그런 분할이 가능하다면 그렇게 분할되는 작은 정육면체들 중 어느 두 개도 서로 만나지 않는다는 엄청난 사실을 증명함으로서 모순을 끌어내는 방법으로 이루어집니다. 일단 그림을 그리기 쉬운 정사각형에 대해 이야기하기로 하겠습니다. 문제의 핵심은 가장 작은 정사각형 A에 있습니다. 이 가장 작은 정사각형 A는 큰 정사각형의 맨 귀퉁이에 배열될 수 없습니다. 왜냐하면, A에 접하는 다른 정사각형이 A보다 크기 때문에, 그것이 놓여지고 나면 A에 접하는 또 다른 정사각형은 A와 같은 크기여야만 하기 때문입니다: |--------- |AAA??? |AAA??? |AAA??? |BBBB |BBBB |BBBB |BBBB 또한 이 제일 작은 정사각형 A는 원래의 정사각형의 한 변에 붙을 수도 없습니다. 역시 비슷한 이유에서요. 그림을 보면 분명해 지리라고 생각합니다: ------------------ BBBBBAAACCCC BBBBBAAACCCC BBBBBAAACCCC BBBBB???CCCC BBBBB??? ??? A의 임의의 한 변을 생각하면, 그 변에 접하는 다른 작은 정사각형은 기껏해야 2개입니다. 왜냐하면 3개가 접한다면 그중 '가운데 끼는' 정사각형은 A보다 확실히 작기 때문입니다. 이제 만일 A에 접하는 정사각형이 2개이고, 얘내들이 A의 그 변의 중간에서 서로 만난다면, 즉 BBBBB BBBBBCCCC BBBBBCCCC BBBBBCCCC BBBBBCCCC AAA AAA AAA 처럼 된다면, 사실상 A는 위에서 불가능하다고 말한 것과 같은 위치에 놓이게 됩니다: BBBBB BBBBBCCCC BBBBBCCCC BBBBBCCCC BBBBBCCCC DDDDDDAAAEEEEEEE DDDDDDAAAEEEEEEE DDDDDDAAAEEEEEEE DDDDDD???EEEEEEE DDDDDD???EEEEEEE DDDDDD???EEEEEEE EEEEEEE 따라서, 위에서처럼 B와 C가 만날 수가 없으므로, 결국 A의 임의의 한 변에는 단 한 개의 다른 정사각형이 접할 수 있습니다. 또한 그 접하는 변의 한 꼭지점은 A와 만나야 합니다. 즉, 다음의 (O)와 같이 만나야 하는 것입니다. BBBBB BBBBBAAA BBBBBAAA BBBBBAAA BBBBBAAA (X) BBBBBAAA (O)� BBBBBAAA BBBBB BBBBB BBBBB 결국 A의 주위에 접하는 정사각형들은 A를 마치 '바람개비'처럼 둘러싸게 됩니다. 마찬가지 이유로, 이제 다시 정육면체 이야기로 돌아가면, A가 가장 작은 정육면체이면 A의 임의의 면에는 단 한 개의 다른 정육면체가 접할 수 있으며, 또한 이 접하는 정육면체의 그 접하는 쪽 면의 한 개의 꼭지점은 A와 만나야 합니다: /----/| /---/ / | / / / | |---|----| / | A | B | / |---| |/ |----| 이제 귀납법에 의해 증명을 수행할 수 있습니다. 작은 정사각형들의 크기가 모두 다르므로 우리는 이 정사각형들을 크기가 작은 것에서 큰 순서로 늘어놓을 수 있고, 그에 따라 번호를 매겨서 A1, A2, ... 이런 식으로 나열할 수 있습니다. 이제 가정하기를 A1, ... , Ak는 서로 접하지 않고, 또한 임의의 Ai에 대해(1<=i<=k) Ai에 접하는 정육면체는 위에서 언급한 것과 같은 특이한 방법으로 접한다고 가정합시다. 이때 같은 결론을 k+1에 대해서도 내릴 수 있음을 보일 것입니다. 우선 A(k+1)이 임의의 Ai에도 붙지 않음을 보여야 합니다. 만일 A(k+1)이 Ai에 붙었다고 가정합시다. /----/| /---/ / | / / / | |---|----| / | Ai|A(k+1)/ |---| |/ |----| 이제 Ai에 접하면서 또한 A(k+1)에 접하는 두 개의 정육면체를 상상해 보십시오. 이들은 가정에 의해 Aj들이 아닙니다. 따라서 이들의 크기는 A(k+1)보다 큽니다. 그러므로, A(k+1)의 아랫 쪽, 그러니까 Ai가 있는 쪽에 접하는 면에 일종의 앞에서부터 계속 언급하던 벽 같은 것이 생겨납니다. 즉, A(k+1)의 면들 중에서 Ai가 붙은 면의 반대방향에 있는 면을 제외한 네 개의 면들 중에서, 최소한 세 개의 면에 대해서는, 그 면에 붙는 정육면체는 Ai와 A(k+1)의 접면이 정의하는 평면에 대해 순전히 A(k+1)쪽에 놓여야만 합니다. 그 문제의 면들에 몇 개의 정육면체가 붙던 간에, 결국은 그 면을 채우기 위해 동원되는 정육면체는 A(k+1)의 한 변의 길이를 넘기게 되어 있습니다. 만일 Ai들 중의 하나가 아닌 다른 것을 사용했다면 당연히 넘게 됩니다. 그러므로 유일한 가능성은 Ai들만을 이용해서 그 길이의 합이 정확히 A(k+1)의 길이와 같게 만드는 것입니다. 그런데 이것은 불가능합니다. 왜냐하면 우리는 알다시피 Ai들이 서로 붙지 못한다고 가정하고 있기 때문입니다. 따라서 앞에서와 마찬가지로 A(k+1)의 세 면에 대해서는 뭔가 불쑥 그 위로 튀어나오게 되어 버리는데, 이 빈 공간에 들어갈 수 있는 것은 A(k+1) 뿐입니다. (앞에서와 같은 이유로 Ai들은 이 공간을 채우지 못합니다.) 그러므로 A(k+1)은 어떤 Ai에도 접하지 못합니다. 이제 A(k+1)에 접하는 정육면체는 Ai들이 아니므로, 모두 그 크기가 A(k+1)보다 큽니다. 그러면 우리는 위에서 전체에서 가장 작은 정육면체 A에 대해 써먹었던 논리를 다시 A(k+1)에 대해 써먹을 수 있습니다. 따라서 A(k+1)에 접하는 정육면체는 앞에서 말한 것 처럼 특이한 방법으로 A(k+1)에 붙게 됩니다. 이로서 귀납 증명이 완성되었습니다. 결국은 원래의 큰 정육면체를 분할하는 작은 정육면체들이 모두 서로 만나지 않는다는 말도 안 되는 증명을 하게 되었는데, 이런 일은 알다시피 있을 수 없는 일입니다. 따라서 큰 정육면체를 분할하는 것은 불가능합니다. . |