| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): pomp (위풍당당) 날 짜 (Date): 1997년08월23일(토) 11시39분07초 ROK 제 목(Title): 알기 쉬운 미해결 문제들 수학에서 아직 미해결인 문제 가운데, 이해하기 쉬운 몇 개를 듭니다. 물론, "이해하기 쉽다"고 해서, 증명도 쉬울 것이라고 생각하다간 큰 코 다칠 문제들입니다만... ^^; o 3n+1 문제 임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다. n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다. 예를 들어, n=5로 시작하면, 5 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2 --> 1 이 됩니다. 어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다. 유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다." 라고 했습니다. o 쌍둥이 솟수 p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다. 예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다. 쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다. o 골드바하의 예상 "2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바하가 주장했습니다. 200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다. o 메르센느 수 p가 솟수일 때, M_p = 2^p - 1 를 메르센느 수라고 합니다. 메르센느 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센느 솟수가 무한히 많이 존재할까요? 또 하나, 메르센느 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다. o 페르마 수 페르마는 F_n = 2^{2^n} + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F_5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다. 그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F_22 입니다. 한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다. 지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, F_n은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다. o 피보나치 솟수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.) 이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요? o n^2 + 1 꼴의 솟수 n^2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요? o k 2^n + 1 꼴의 합성수 모든 자연수 n에 대해 k 2^n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요? o 제곱 수 사이의 솟수 연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요? 2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다. o 큰 수의 인수분해 솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다. 페르마 수 F_n = 2^{2^n} + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다. n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다. o 홀수 완전수 6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다. 이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다. 짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다. 여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10^300보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다. o \pi + e \pi와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.) 그런데 \pi + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다. o 오일러 수 "오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다. \gamma = lim_{n->\infty} ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n ) 이 \gamma가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다. 아마도 무리수일 뿐 아니라, 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다. o 아페리의 수 \zeta(3) = 1/{1^3} + 1/{2^3} + 1/{3^3} + 1/{4^3} + ... 으로 정의합니다. 아페리(Apery)가 이 수는 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다. 아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠. ^^; o 카탈란의 예상 연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요? 2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다. 물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다. o 이집트 분수 분자는 1, 분모는 정수인 분수를 이집트 분수라고 합니다. 1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요? 바꿔 말하면, n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 정수해 x,y,z가 존재하겠느냐는 겁니다. o 5차 부정 방정식 다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요? a^5 + b^5 = c^5 + d^5 o 일곱 개의 세제곱들의 합 454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요? o 네 개의 세제곱들의 합 모든 정수는 네 개의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있을까요? 예를 들어, 148은 아직 그런 방법을 알지 못합니다. 앞의 문제와 다른 것은, 음의 정수나 0을 사용할 수 있다는 점입니다. o 유리수 거리 평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다. 이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요? o 유리수 상자 임의의 두 꼭지점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요? o 내접 정사각형 평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요? 단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다. o 우아한 트리 유한 개의 점과, 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 "그래프(graph)"라고 합니다. 이 때, 이 그래프의 점을 "버텍스(vertex)"라고 하고, 버텍스들을 잇는 선을 "에지(edge)"라고 합니다. 그래프 가운데, 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때, 이런 그래프를 특별히 "트리(tree)"라고 합니다. 전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 "트리 구조"라는 걸 아실 겁니다. n 개의 버텍스를 갖는 트리에, 1부터 n까지 숫자를 준 다음, 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다. 이렇게 했을 때, 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면, 이 트리는 "우아하다(graceful)"고 정의합니다. 예를 들어, 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다. 5 1----4 / / 7----3----9----2 \ \ 6 8 이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다. 따라서, 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다. 그런데, 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요? 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다. o 마법의 나이트 경로 8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서, 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다. 이 때, 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요? semi-magic knight tour라고 해서, 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만, 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다. ... & circumstance |