| [ QuizWit ] in KIDS 글 쓴 이(By): staire (강민형) 날 짜 (Date): 1994년04월14일(목) 21시56분35초 KST 제 목(Title): Convex님... (Re : To staire) 그렇군요... 이제 알았습니다. 그렇지만 두 가지 문제점이 있네요 [1] 원뿔을 평면으로 잘라서 얻는 곡선은 달팽이가 기어간 길과 다릅니다. 달팽이는 30도의 각을 유지하지만 그 곡선은 가장 낮은 점(꼭지점에서 가장 먼 점)과 가장 높은 점에선 수평 방향, 그 중간지점에서는 수평과 30도, 그 이외의 점에선 수평선과 0도 내지 30도 의 각을 가지거든요. 하긴 이 점은 Convex님이 아니라 환상님의 실수로군요. [2] 원뿔을 평면으로 자른 곡선은 원기둥을 평면으로 잘랐을 때와 같은 타원입니다. 중학생도 증명할 수 있어요...(음.. 이 말은 좀 어폐가 있고... 중학생도 이해할 수 있는 증명입니다.) 다음 두 가지 사실을 전제로 해 둡시다. 1) 구의 접선이란 구와 단 한 점에서만 만나는 직선이다. 2) 구 외부의 한 점에서 그은 모든 접선은 길이가 같다. (2차원이라면 원 밖에서 그은 두 접선... 이겠죠?) 증명은 다음과 같습니다. (간단한 증명이지만 종이와 연필을 들고 직접 그리면서 읽으시면 아주 재미있습니다.) 우선 원뿔을 하나 그립시다. 좀 크게... 그리고 그 원뿔의 꼭지점을 A라 합니다. 그다음 엔 그 원뿔을 비스듬히 잘랐다고 가정하고 잘린 자국을 그립니다. 타원 비슷하죠? 그 곡선을 e라 합시다. 그리고 자르는 평면의 이름은 p입니다. 이제 원뿔의 꼭지점 부근에 하나의 구를 원뿔에 내접하면서 동시에 평면 p에 접하도록 그립니다. 이 작은 구는 평면 p보다 위에 있지요? 이 구를 S1이라 합시다. 반대로 원뿔의 아래쪽에서 원뿔에 내접하면서 평면 p에 아래로부터 접하는 구를 그리고 이것을 S2라 부르겠습니다. 이 구는 꽤 큽니다. 원뿔을 너무 작게 그리신 분은 다시 처음부터 그리셔야 할 겁니다. 구 S1과 S2는 원뿔의 옆면과 접하며 이 접점들은 각각 하나씩의 원을 이룹니다. 이 원들을 각각 c1, c2라 부르겠습니다. 그리고 두개의 구가 평면 p와 접하는 점들을 각각 T1, T2라 합니다. 이제 곡선 e 위의 아무 점이나 하나 택해서 그 점을 X라 합시다. 선분 XT1과 XT2는 각각 구 S1,S2의 접선들입니다. 왜냐하면 이 선분들은 모두 평면 p의 부분집합들이며 평면 p는 구 들과 각각 한 점에서만 만나니까요. 그러니까 이 두 선분들도 구와 각각 한 점에서 만나지요. 그다음에 원뿔의 꼭지점 A와 X를 연결하는 직선을 길게 그어둡시다. 이 직선의 이름은 l입니다. 직선 l이 원 c1, c2와 교차하는 점을 각각 M1, M2라 합니다. 그러면 선분 XM1, XM2도 역시 구 S1, S2에 대한 접선들입니다. 이 선분들과 구들과의 유일한 공유점이 각각 M1, M2이니까요. 그러면 XT1과 XT2는 길이가 같습니다. 구 밖의 점 X에서 구 S1에 그은 두 접선이니까요. 같은 이유로 선분 XM1, XM2도 서로 길이가 같습니다. 그렇다면 선분의 길이의 합 XT1 + XT2는 XM1 + XM2와 같죠? 그런데 두 선분 XM1과 XM2를 합치면 이것은 하나의 선분 M1M2가 됩니다. (직선 l의 부분집합이니까요.) 그리고 선분 M1M2의 길이는 두 선분의 길이의 차 AM2 - AM2가 됩니다. 그런데 점 X를 곡선 e 위의 어디에 잡더라도 M1M2의 길이는 일정합니다. AM1과 AM2는 각각 점 A에서 구 S1, S2에 그은 접선들이므로 그 길이들이 일정하니까 그 차이인 M1M2도 길이가 점 X의 위치에 무관하게 일정한거죠. 그런데 M1M2는 XT1 + XT2이므로 '곡선 e 위의 임의의 점 X에 대해 두 점 T1, T2로부터의 거리의 합은 같다.'는 결론을 얻습니다. 즉, 곡선 e는 정확한 타원이며 T1과 T2는 그 초점들입니다. (사족이지만 개정된 맞춤법으로는 촛점, 솟수... 가 아니라 초점, 소수... 가 맞다는군요.) 쉽죠? 원기둥에 대해서도 똑같은 증명이 가능하니까 각자 해보세요. 달팽이 문제에 관해서는 아마 이 글 위에 쓰신 shy님의 답이 정답인 것같군요. 답은 '모선의 길이의 2배'인 것같습니다. 각도를 d라 하면 모선의 길이의 (1/sin d)배가 되겠지요? 정말 마지막으로... 환상님의 풍부한 상상력과 번득이는 센스에는 늘 감탄하고 있지만 사소한 실수나 오타가 많은 것이 아쉽군요. 글쓰시기 전에 한번만 검토를 해보신다면 저같이 둔한 사람들의 고민을 덜어주실 수 있을 텐데... |