| [ KAIST ] in KIDS 글 쓴 이(By): eastiron (난 펩시) 날 짜 (Date): 2001년 1월 1일 월요일 오후 11시 47분 04초 제 목(Title): Re: [Q]entropy? 엔트로피를 표현하는 식은 적용하려는 조건에 따라 각각 다르게 사용됩니다. 외부 압력이 일정하느냐 그렇지 않느냐 등에 따라 다른 식이 있습니다. 쓰신 식은� 내부의 인력을 무시하고 표현할 때 쓸 수 있는 통계적 assumption으로,� 이상적 기체의 특성으로부터 나온 것입니다. 엔트로피의 물리적 정의는 한마디로 혼돈의 정도를 나타낸다고 할 수 있습니다. 일반적으로 열역학적 형태에서의 정의는 중고생들을 위한 말이고, 실제로는 계가 가지는 물리적 현상의 가중치에 따른 분포를 정의로 표현하는 것입니다. 가장 일반적인 정의는 다음과 같습니다. 어떤 상태에 있을 수 있는 확률을 P_{i}라 해보죠. 이 때 물론 \sum_{i} P_{i} = 1 이겠죠. 그런데 각각의 경우 (i)에 대해 가중치를 주려면 어떻게 해야 할까요. 만약의 가능한 경우가 N 가지 경우라면 P_{i}가 가능한 경우는 N * P_{i}이고, 이때 N * P_{i} 만큼의 지수승의 가중치를 준다고 합시다. 이러한 전체 가중치의 곱을 다음과 같이 W라 정의하면 W = (N * P_{1})^(N * P_{1}) * (N * P_{2})^(N * P_{2}) ... * (N * P_{N})^(N * P_{N}) 로 주어질 겁니다. 이를 조그만 정리하면, W = N^{N} P_{1}^(N * P_{1}) ... * P_{N}^(N * P_{N}) 로 주어집니다. 이렇게 지수로 가중치를 주는데도 이유가 있습니다. 아마 수학적 공리중에 convex function에 관해서 averege(f(x)) >= f(average(x))라는 식을 이용할 수 있기 때문일 겁니다. (찾아보세요. 정확한 공리의 이름은 기억이 나지 않는군요.) 하여간 W의 지수를 취한 값을 k_{B}라는 boltzmann 상수를 곱해서 정의하는 것을 엔트로피라 정의가 됩니다. S = -k_{B} * \log(W/N^{N}) / N = - k_{B} \sum_{i} P_{i} \log(P_{i}) 이것이 가장 엄밀한 정의입니다. 그래서 많은 물리적 현상을 기술하기 위해서는 열역학적 형태가 아닌 위와 같은 확률적 분포로부터 그 값을 찾아냅니다. 보시면 아시겠지만, 모든 상태가 모두 같은 P_{i} = 1/N인 경우 S = K_{B} \log(N)으로 바뀝니다. 이때가 가장 큰 값을 갖고, 나머지 경우는 이보다 작은 형태의 S값을 갖게 됩니다. 즉 모든 상태에 골고루 분포하는 혼돈 상태에서 가장 큰 값을 갖고, 하나라도 어느 한 상태(i)로 몰리면 위에서 말한 값보다 작아지게 되어 있습니다. 물론 어느 상태에 몰리느냐는 열적 평형 상태의 조건이 외부와 열 또는 입자를 교환할 수 있느냐 아니냐에 따라 변할 수 있습니다. (열역학적 조건에 대한 P_{i}를 넣으면 바로 열역학적 관계식들로 변환됩니다) 물론 이러한 값은 정확한 양보다는 상대적 값이 보다 중요해집니다. 또한 대부분의 비평형계에 관해서는 위와 같은 정의가 그다지 중요하지 않고 measure라는 양에 의해서, 위상공간이라고 불리우는 가장적 좌표계에서의 flux의 흐름으로 기술되어야 보다 시스템의 혼돈 양상을 기술할 수 있게됩니다. (이 부분은 카오스 이론쪽이라 저도 잘 모릅니다만, 카오스 이론과 밀접한 연관이 있는 것만은 확실합니다.) 도움이 되었길 빕니다. |