| [ KAIST ] in KIDS 글 쓴 이(By): guest (guest) <211.119.130.59> 날 짜 (Date): 2000년 8월 11일 금요일 오후 08시 44분 36초 제 목(Title): Re: [질문] 수학문제 사실 말만 어렵게 써서 그렇지 mkjung님의 증명보다 훨씬 지식을 덜 필요로 하는 증명입니다. (대신 덜 깔끔한 면도 있습니다만. :) 일단 A^{-1}이 있는 경우에는 Serre님의 증명이 답을 매우 쉽게 줍니다. 이제 문제는 det(A)=0인 경우입니다. 이 경우에는 A의 각 항의 값에 아주 적은 섭동을 주어서 A'을 만듭니다. det(A')는 0에서 살짝 밀려나서 0이 아닌 값을 가지게 되죠. 따라서 det(xI-A'B)=det(xI-BA')가 됩니다. (임의의 고정된 B에 대해). 근데, 위의 관계식은 임의의 그렇게 튕겨나간 A'에 대해 전부 참입니다. 게다가 A'을 A로 점점 가까이 접근시켜도 참입니다. 또한 위의 식은 원래 det이 다항식이라는 것을 고려할 때에 어찌 되었건 연속함수입니다. 따라서 A'을 다시 A로 한없이 가까이 접근시켜도 여전히 문제의 관계식은 참입니다. 결국 극한에서 그냥 임의의 A를 써도 참입니다. 이런 종류의 행렬 사이의 관계식을 다룰 때에 흔히 행렬을 대각화 가능하다고 가정하고 풀어도 되는데, 왜냐하면 마찬가지로 임의의 행렬은 대각화 가능한 행렬들의 극한이기 때문입니다(대각화 가능하지 않은 행렬들은 그런 행렬들에 비해 그 수가 매우 적습니다, 어떤 의미에서는). 그러다 보면 또한 최종적으로는 대각행렬에 대해서만 확인해 보면 주어진 식이 항등식인지 확인이 가능합니다. 예를 들어 유명한 공식인 exp(tr(A))=det(exp(A)) 같은 경우에는 대각행렬에서 확인하는 것은 매우 쉽고, 대각화 가능한 행렬은 대각행렬의 경우로 금방 변합니다. 임의의 행렬에 대해 참인 이유는 exp(A), tr(A), det(A)가 전부 A에 대한 연속함수이기 때문입니다. |